Решение уравнений с одз. Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Область допустимых значений квадратного корня. Квадратный корень из четной степени. Подкоренное выражение должно быть _____________________. ? 0. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа ______________________________. ? 0. ? 0. При извлечении квадратного корня из четной степени не забывать ________________. Так как корень арифметический, то его значение должно быть _______, следовательно, значение корня должно быть __________________ .

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока алгебры, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Квадратный корень из числа.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 254 КБ.

Корень

«Арифметический корень натуральной степени» - Сравните. Повторение. Решите уравнения. Точка. Вычислить. Решите уравнение. Самостоятельная работа. Неотрицательное число. Арифметический корень натуральной степени. Арифметический корень.

«Квадратный корень из числа» - Таблица основных степеней. Корень из дроби. Арифметический квадратный корень. Вычисление квадратных корней. Корень квадратный. Запомни. Вычисление корня. Извлечение квадратных корней путем разложения на множители. Область допустимых значений квадратного корня. Свойства квадратных корней. Извлечение корня из четной степени.

«Квадратный корень урок» - Самостоятельная работа. Повторить определение арифметического квадратного корня. Оцени себя сам: Здравствуйте, ребята! Мы рассмотрели доказательство теоремы об извлечении квадратного корня из произведения. Выражение. 1. Как называется выражение. 5. Итак, Повторим: 4. Вывод: Затем Вам будут предложены задания для самопроверки.

«Арифметический квадратный корень» - 1.Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. Новые понятия. Решаем вместе. Тема: Квадратный корень.Арифметический квадратный корень. Помощь учебника. При каком а не имеет смысла Найди формулу. Подведение итогов. Решение. Как называют а? Примеры разберите в учебнике и приведите свой пример.

«Арифметический корень» - Величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить на одно и тоже число. Определения. Таллинн Ласнамяэская гимназия. Свойства арифметических корней. Арифметическим корнем называется неотрицательное значение корня из неотрицательного числа. Корень чётной степени считают арифметическим (неотрицательным).

«Свойства арифметического квадратного корня» - Несколько значений х. Упростите выражение. Загадка. Проблемные ситуации. Свойства арифметического квадратного корня. Теоретический опрос. Теоретический устный опрос. Расшифруйте поговорку. Исключите ненужное словосочетание. Найди ошибку. Преобразуйте выражение.

Всего в теме 14 презентаций

В уравнениях и неравенствах вида , , , , пересечение областей определения функций и называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно.

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие.

Так находить ли ОДЗ?

Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально.

В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4).

В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким.

Пример 1. Решить уравнение .

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения.

Найдем ОДЗ уравнения:

Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – единственный корень уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является корнем исходного уравнения.

Пример 3. Решить неравенство .

Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение.

ОДЗ:

Подставляя это единственное значение в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 4. Решить уравнение .

Запишем уравнение в виде .

Уравнение вида равносильно смешанной системе т.е.

Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне.

В нашем случае получим равносильную систему т.е.

Уравнение равносильно совокупности Уравнение рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.

Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде .

Найдем ОДЗ: .

При правая часть уравнения , а левая часть . Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х равносильно системе уравнений решением которой является только одно значение .

Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение.

Пример 5. Решить уравнение .

Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их).

Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения:

Итак, ОДЗ:

Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов.

Так как в области допустимых значений переменной х и , то , а , тогда получим равносильное уравнение:

Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению и решим его, разделив обе части на 3.

Ответ: − 4,75.

Замечание.

Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.

Пример 7. Решить неравенство .

Так как переменная х входит и в основание логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая: и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно.

Итак, представим исходное неравенство в виде и оно будет равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .

Дробные уравнения. ОДЗ.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же.

Дробные уравнения.

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:

Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения.

Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?

В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу:

В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:

А это уравнение уже решит всякий! х = 2 .

Решим ещё один пример, чуть посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать:

И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:

Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

А вот теперь уже раскрываем скобки:

Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Научный руководитель:

1. Введение 3

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа.

Равносильность переходов 10-13

7. ОДЗ в ЕГЭ 14-15

8. Заключение 16

9. Литература 17

1. Введение

Уравнения и неравенства, в которых нужно находить область допустимых значений, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому мои сверстники часто делают ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об области допустимых значений. Это и определило проблему данной работы.

В настоящей работе предполагается исследовать явление существования области допустимых значений при решении уравнений и неравенств разных типов; проанализировать данную ситуацию, сделать логически корректные выводы в примерах, где нужно учитывать область допустимых значений.

Задачи:

Опираясь на имеющийся опыт и теоретическую базу, собрать основные сведения об области допустимых значений и её использовании в школьной практике; Проанализировать решения разнообразных типов уравнений и неравенств (дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических, содержащих обратные тригонометрические функции); Проверить ранее полученные при решении различных уравнений и неравенств результаты, убедиться в надёжности способов и методов их решения; Определить «место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств; Применить полученные материалы исследования в ситуации, которая отличается от стандартной, и использовать их при подготовке к ЕГЭ.

При решении этих задач использованы следующие методы исследования : анализ, статистический анализ, дедукция, классификация, прогнозирование.

Исследование начато с повторения известных функций, изучаемых в школьной программе. Область определения многих из них имеет ограничения.

Область допустимых значений встречается при решении: дробно-рациональных уравнений и неравенств; иррациональных уравнений и неравенств; логарифмических уравнений и неравенств; уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), выделили решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Изучен анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Практическое значение работы заключается в том, что ее содержание, оценки и выводы могут быть использованы в преподавании математики в школе, при подготовке к итоговой аттестации школьников 9 и 11 классов.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него:

у есть функция переменной х (на отрезке https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. Возведя обе части уравнения в квадрат, мы избавимся от иррациональности. Но обратим внимание на то, что возведение в квадрат, вообще говоря, не равносильное преобразование, и при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни. Если корни получились целые, то несложно произвести проверку. Но в некоторых случаях производить проверку неудобно. Тогда используют сведение данного уравнения к равносильной системе:

.

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34.gif" width="107" height="27 src="> является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51">

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни бы­ло ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо из­вестно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при реше­нии этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомним, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой об­ластью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью опреде­ления множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разум­ная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исход­ный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1 , и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3 , и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1 , и подходит только 1 .

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анали­зом самого выражения.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2 . Тогда в неравенство подставим 2 .

6) Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.

Из ОДЗ имеем:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ОДЗ: . Так как, то

С другой стороны,. Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения равна 0 , т. е. при х=1 . После подстановки этого значения х убеждаемся, что решений нет.

ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).

На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2 . При этом . Значит, исходное ра­венство невозможно и решений нет.

А теперь приведём пример, который был предложен учителем на уроке алгебры. Решить его сразу нам не удалось, но когда мы нашли ОДЗ, всё стало ясно.

Найдите целочисленный корень уравнения https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77">

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5 . Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахож­дения ОДЗ.

1.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выраже­ния большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицатель­ной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем са­мым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому выберем только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносиль­ные преобразования при переходе от одного уравнения (нера­венства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х , при которых х2=1 , мы не можем получить х=0 .

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положи­тельному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же сооб­ражениям, что и в предыдущем примере.

4.

ОДЗ не нуж­на, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функ­ции, а потому не может быть отрицательным.

5.

6. . ОДЗ не нужна, так как выражение всегда положительно.

7. Для решения до­статочно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. .gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равно­сильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функ­ций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, рав­носильное данному, в таком виде . Полученный ре­зультат надо проверить по ОДЗ.

2. ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда , исключается.

В целом эффективность способа равносильных преобразова­ний вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поисков ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научиться им пользоваться? Но это не совсем так. Тому несколько причин. Теорем о равносиль­ных преобразованиях довольно много, они непросты для запоми­нания, и уверенное владение ими – дело не простое. Часто, пользуясь равносильными преобразованиями, начинаешь ставить этот знак при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. Теоремы же эти быстро забываются.

Еще одна сложность - при записи равносильности мо­жно забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. Вот два таких примера:

1. Переход в общем виде выглядит так:

В данном примере выражение под знаком логарифма, стоящего справа, всегда положительно. Поэтому применительно к этому примеру та часть условий равносильности, которая записана в ви­де совокупности, ничего не добавляет. Но дав такое решение, можно просто забыть об этой совокупности.

Возможны два случая: 0<<1 и >1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.

Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:

Или

И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совер­шаются какие-то преобразования самого уравнения, но не исполь­зуется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида были приведены в работе. Рассмотрим еще примеры.

1. Такое решение естественно. В ле­вой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению . В результате получим уравнение . Оно равносильно такой системе

Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при кото­рых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27">.gif" width="147" height="24">добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.

3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции . Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:

1. Выпускники правильно находят ОДЗ, решая систему неравенств:

откуда x . Далее, умножая обе части неравенства на общий знаменатель, получают неравенство: lg(23 - 10x

2..gif" width="124" height="29">. Далее они получают x – 10 +; . Решая это уравнение и учитывая условие , выпускники делают вывод – уравнение не имеет решений.

3. Сдающие верно преобразовывают уравнение к виду

и рассматривают два случая: x 10 и x < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Заключение

В данной работе мы постарались исследовать явление существования области допустимых значений при решении уравнений и неравенств разных типов, проанализировали данную ситуацию, сделали логически корректные выводы в примерах, где нужно учитывать область допустимых значений. Для меня тема «Область допустимых значений» казалась очень сложной и непонятной, да и в школьных учебниках этой теме не отводится должного места, она практически не освещена, хотя в заданиях ЕГЭ присутствуют задачи на решение уравнений и неравенств, в которых необходимо найти область допустимых значений. В процессе работы мы столкнулись с тем, что литературы по данной теме недостаточно для полного и систематического изучения. Мы думаем, что эта тема требует пристального внимания учёных-математиков и методистов.

Прорешав множество примеров из различных источников, мы можем подвести некоторый итог: уни­версального метода решения уравнений и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, думаешь: а какой способ решения выбрать, в частности, искать область допустимых значений или не надо? Мы считаем, что полученный опыт поможет решить эту дилемму. Школьники перестанут делать ошибки, научившись правильно использовать область допустимых значений. Получится ли у нас это, покажет время, точнее предстоящий ЕГЭ 2010.

Надеемся, что представленная работа будет интересна и полезна педагогам и учащимся, и ОДЗ перестанет быть «каким-то нехорошим ОДЗ» для школьников.

9. Литература

1. , и др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002.

2. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966.

3. Газета «Математика» №46,

4. Газета «Математика» №

5. Газета «Математика» №

6. «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.

7. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009.

8. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009.

9. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007.

10. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976.

11. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993.

12. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006.

13. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002.

14. Материалы сайтов http://www. ***** , http://www. ***** .

Интернет-портал Википедия http://ru. wikipedia. org/wiki/Числовая_функция (Дата просмотра 05.03.2010).

, «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976, с.64.

Вопрос школьника на Ответы@***** http://otvet. *****/question/8166619/ (Дата просмотра 22.03.2010)

Методическое письмо «Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования» http://www. ***** (Дата просмотра 17.12.2009)

Шакирова Г. Г. (, МАОУ»Лицей № 9»)

1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:

2. Газета «Математика» № 46,15. 1998.

3. Газета «Математика» № 15. 2002.

4. Газета «Математика» № 17. 2002.

5. Ф. П. Яремчук, П. А. Рудченко Справочник «Алгебра и элементарные функции» Киев: «Наукова думка»; 1976.;

7. Сборник по подготовке к ОГЭ. Типовые тестовые задания, 9 класс, издательство «ЭКЗАМЕН», Москва 2016.

8. Учебник по алгебре за 9 класс, А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев, издательство «МНЭМОЗИНА», Москва 2010.

Данная статья является реферативным изложением основной работы. Полный текст научной работы, приложения, иллюстрации и иные дополнительные материалы доступны на сайте III Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://www.school-science.ru/0317/7/29329

Я считаю, что математика - это одна из важнейших наук в мире. Она приобретает особое значение для человека, в связи с ростом науки и технического прогресса. Всем людям в своей жизни приходилось выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, находить и применять нужные формулы, владеть приемами геометрических измерений, но человек не всегда учитывает все условия, влияющие на результат. Именно благодаря этому и появляется условие ОДЗ.

Данная тема меня заинтересовала, тем, что я не до конца понял значение и важность нахождения ОДЗ, благодаря чему я не уделял должного внимания важности ОДЗ в некоторых заданиях, и у меня с ОДЗ возникла «война».

В то же время по математической сути нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужным, а иногда и вообще невозможным - и все это без какого бы то ни было ущерба для решения. И из-за такой ситуации с ОДЗ и возникает «война».

При решении задач некоторых типов уравнений и неравенств, я столкнулся с тем, что некоторые условия либо не подходят, либо на них накладываются определенные значения и в дальнейшем я понял, что действительно существует определенная область, в которой расширяются допустимые значения, удовлетворяющие условию задач и уравнений некоторых типов.

Если привести грубое сравнение теннисного мячика и функции (неравенства, уравнения или задачи), то оболочка мячика и внешние условия - это наше ОДЗ, а то, как мячик отскакивает от пола - это решение функции (неравенства, уравнения или задачи). Тогда можно сказать, что если мы нарушим оболочку этого мячика (или, проще говоря, порвем его), то мячик перестанет так же хорошо отскакивать, как и раньше, то есть если мы нарушим ОДЗ, то решения не будет.

Актуальность моей темы заключается в том, что человек, при решении проблемы, не обращает внимания на мелкие условия. Так же можно привести аналогию с решением определенных заданий по математике, где не учитывается условие ОДЗ, а это влияет на результат решения. Таких заданий много во второй части ОГЭ, что может привести к неуспешной сдачи экзамена.

Доказать важность ОДЗ.

1. Объяснить свойства и значения в нашей жизни ОДЗ.

2. Проанализировать различные методы решения примеров с участием ОДЗ.

Методы исследования:

• теоретическое исследование (анализ литературы, поиск источников);
• анализ основных задач и понятий ОДЗ;
• метод индукции ОДЗ (умозаключение от фактов к моей гипотезе)
• реальное исследование (решение заданий группой людей).

Практическая часть:

Проведение исследований по решению несложных задач и уравнений, описание исследований.

Гипотеза:

ОДЗ - это следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях.

История формирования

Что ж, давайте копнем в историю формирования ОДЗ.

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось, конечно же, не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе Пьера Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (опубликованной в 1679 году) сказано: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». Как можно догадаться, здесь ведется речь о функциональной зависимости и ее графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости между двумя переменными величины. Это свидетельствует уже о совершенно отчетливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако сам термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 году у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы ее точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696 года) термин «функция» не употребляется. Первое определение функции, близкое к современному, встречается у И. Бернулли (в 1718 году): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчетливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой.

В итоге я пришел к определению ОДЗ для функции. Областью определения (допустимых значений) функции Y называется совокупность значений независимой переменной X, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III века) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых с помощью составления уравнений. Есть в ней такая задача: «Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».

Чтобы обезопасить себя от решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой, и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + x и 10 - x (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100 - х2 = 96, для которого подходил только положительный корень 2.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V века нашей эры.

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787-850 года). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались лишь положительные корни уравнений.

В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739 года) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колик оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»?

В древневавилонских текстах (3000-2000 лет до нашей эры) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих уравнения второй степени. Вот одна из них:

«Площади двух своих квадратов я сложил: . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5».

Соответствующая система в современной записи имеет вид:

И только в XVII веке после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Вас, как мне кажется, интересует ответ на вопрос: «Для чего я написал историю возникновения функции и неравенств?» Ответ очень прост. ОДЗ - это лишь следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях.

ОДЗ в неравенствах и уравнениях

При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств:

Знания с 1 по 9 класс не позволяют мне производить деление на 0. «На 0 делить нельзя, так как на пустоту что-либо поделить невозможно», - говорили мне учителя в начальной школе.

Решение иррациональных уравнений и неравенств:

Исследование

Я провел исследовательскую работу для выяснения, как часто ученики учитывают ОДЗ при решении задач, уравнений, неравенств и т. д. Для этого я подобрал 4 задания и решил их сам, затем предложил их 35 девятиклассникам, в первых трех из которых не обязательно было учитывать ОДЗ, а в четвертом - обязательно. Целью исследовательской работы являлось доказательство того, что люди не уделяют должного внимания ОДЗ.

Задания, предложенные девятиклассникам:

1) Из пункта А в пункт Б выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час вслед за ним в пункт Б выехал автомобиль, и через 4 часа догнал автобус в пункте Б (Приехали одновременно). Какая скорость у автомобиля?

2) (х+3)2+10=(х-2)2

3) 1/(х-2) = х-4

При проверке данных заданий я обнаружил, что решения можно разделить по некоторым критериям.

Критерии отбора решений и количество входящих в них человек:

Справились со всеми заданиями - 5 человек; написали ОДЗ в 4 задании, но допустили ошибку в 1 задании - 2 человека, в 2 примерах - 8 человек, в 3 примерах - 3 человека; Не писали ОДЗ в 4 примере - 17 человек. Основные ошибки:

1. Забывают о своем ОДЗ (написали, но забыли учесть);
2. Неправильно составили ОДЗ;
3. Неправильно домножили уравнения;
4. Не используют подходящие формулы сокращенного умножения;
5. Путают знаки (*, +, -,:);
6. Делают не все примеры.
7. Забывают о смене знаков, при переносе через равно;

И я пришел к тому, что около половины учеников 9-х классов, к сожалению, не учитывали, либо неправильно записали ОДЗ в представленных заданиях, вследствие чего допустили ошибки.

Где встречается ОДЗ в реальной жизни

Мы, на самом деле, так часто встречаемся с условиями ОДЗ, что их просто не замечаем. Например, при покупке чего-либо; с определением действий, при различной температуре на улице.

Пример № 1 из исследования (задача) может быть моделью реальной ситуации, но слишком обобщенной (ни один автобус и ни одна машина не может все время ездить с постоянной скоростью из-за различных факторов, таких как качество асфальта на дороге, углы и количество поворотов, количество бензина и др.). Вот более подходящий пример:

Нам дали 200 рублей на корм коту, который стоит 18 рублей за пакетик, и буханку белого, по стоимости 24 рубля. Нужно рассчитать, сколько рублей мы потратим на корм. Возьмем за X - количество пакетиков с кормом.

ОДЗ: х ≥ 0,

x = (200-24)/18,

x = 9 (остаток 14).

Значит, мы купим 9 пакетиков корма с остатком равным 14 рублей, что соответствует нашему ОДЗ.

Необязательность ОДЗ

Как я убедился на собственном опыте, ОДЗ, зачастую, необязательно указывать в примерах, хотя именно указание ОДЗ требуют задания в ОГЭ и ЕГЭ, иначе получишь меньше баллов. Это можно увидеть на примере 1 и 2 заданий из исследования. И действительно, при решении этих номеров мы замечаем, что область допустимых значений можно не указывать, так как ее отсутствие никак не повлияет на ответ. Но очень часто в таких случаях хорошо сделанную работу оценивали на тройку.

Поиски ОДЗ являются, зачастую, просто лишней работой, без которой спокойно можно обойтись. Тут можно привести массу других примеров. Они хорошо известны, и поэтому я их опускаю. Главным способом решения являются равносильные преобразования при переходе от одного уравнения к другому, то есть к более простому.

Примеры-ловушки

Среди заданий, использующих уравнения или неравенства, есть задачи-ловушки (задания, в которых ОДЗ может сыграть над вами злую шутку). Известно, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, мы можем прийти к неверным решениям. Можно привести пример 3 и 4 заданий из исследовательской работы, но вот еще 1 пример таких уравнений:

Из ОДЗ имеем х ≥ 5 (потому что подкоренное выражения не может быть отрицательным). Так как справа стоит положительное выражение, то а значит, x - 5 > 2x - 1. Решая последнее неравенство, получим x < -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

Заключение

Подводя некоторый итог всей исследовательской работе, я с уверенностью могу сказать, что некоторые условия ОДЗ для уравнений и неравенств - схожи. ОДЗ, как я доказал, встречается в реальной жизни, притом очень часто; также я показал то, что универсального ответа на вопрос «обязательно ли указывать ОДЗ во всех примерах?» в школьном курсе нет.

Также я доказал свою гипотезу, которая звучала так: «ОДЗ, в действительности, - это следствие возникновения различных условий в функциях, задачах, неравенствах и уравнениях».

Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает вопрос: а какой способ решения лучше всего выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я полагаю, что в ходе своей работы частично ответил на этот вопрос.

Причина учета ОДЗ кажется очевидной, но люди все равно будут противиться тому, чтобы лишний раз записать ОДЗ. И сколько бы ни было различных презентаций, пояснений в учебниках и объяснений со стороны учителей, война, не смотря ни на что, еще не завершилась и даже не собирается завершаться, что и подтверждает актуальность и важность данной темы.

Но я бы хотел посоветовать всем, всегда учитывать ОДЗ, так как сразу сказать, что в какой-то определенной задаче нет подвоха, удается далеко не всегда.

Представленный мной доклад может использоваться не только учениками, но и педагогами для объяснения важности ОДЗ.

Библиографическая ссылка