1 что такое высказывание приведите пример. Понятие высказывания

        Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

        Примеры высказываний.
        1) Москва стоит на Неве.
        2) Лондон - столица Англии.
        3) Сокол не рыба.
        4) Число 6 делится на 2 и на 3.

        Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
        Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
        Различают два вида высказываний.
        Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
        Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
        Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
        Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
        В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
        Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
        Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1 , а если а ложно, то а = 0 .

Логические операции над высказываниями

Отрицание.

        Отрицанием высказывания х называется новое высказывание x , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
        Отрицание высказывания х обозначается x читается «не х» или «неверно, что х» .
        Логические значения высказывания x можно описать с помощью таблицы.

        Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
        Пусть х высказывание. Так как x также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания x , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х . Ясно, что логические значения высказываний х и совпадают.
        Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».

Конъюнкция.

        Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
        Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (x∧y, ху) , читается «х и у» . Высказывания х и у называются членами конъюнкции.
        Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
        Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

        Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
        Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Импликация.

        Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
        Импликация высказываний х, у обозначается символом x→y , читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание x→y следованием или импликацией.
        Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

        Употребление слов «если.... то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
        Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации x→y , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у .

Эквивалентность.

        Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
        Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом x↔y , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности.
        Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:

        Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы зак­лючаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Алгебра в широком смысле этого слова - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами.

Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. д. Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики ; объектами алгебры логики являются высказывания .

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Пример:

Например, относительно предложений «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в \(1711\) году» и «Two plus six is eight» можно однозначно сказать, что они истинны. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» - ложно. Следовательно, эти предложения являются высказываниями.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями.

Обрати внимание!

Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Пример:

Например, предложение «Это предложение является ложным» не является высказыванием, так как относительно него нельзя сказать, истинно оно или ложно, без того чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит сказанному. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что оно истинно.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Например, не являются высказываниями такие предложения, как: «Запишите домашнее задание», «Как пройти в библиотеку?», «Кто к нам пришёл?».

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков - математики, физики, химии и т. п.

Примерами высказываний могут служить:

«Nа - металл» (истинное высказывание);

«Второй закон Ньютона выражается формулой \(F = ma\) (истинное высказывание);

«Периметр прямоугольника с длинами сторон \(а\) и \(b\) равен \(аb\)» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями числовые выражения, но из двух числовых выражений можно составить высказывание, соединив их знаками равенства или неравенства. Например:

• 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (истинное высказывание);
• «II + VI > VIII» (ложное высказывание).

Не являются высказываниями и равенства или неравенства, содержащие переменные.

Например, предложение \(«x < 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: \(«5 < 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.

Обоснование истинности или ложности высказываний решается теми науками, к сфере которых они относятся. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Её интересует только то, истинно или ложно данное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными . При этом, если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей \((А = 1)\), а если ложно - нулём \((В = 0)\).

\(0\) и \(1\), обозначающие значения логических переменных, называются логическими значениями .

0 Сегодня, в этот погожий денёк, решил обсудить одно слово, которое у многих вызывает недоумение, это Афоризм , что значит, вы можете прочесть немного ниже. Кроме того, на нашем сайте сайт, вы можете обнаружить множество небольших статей по расшифровке малоупотребительных или жаргонных словечек.
Однако, прежде чем продолжить, мне бы хотелось порекомендовать вам ещё парочку любопытных новостей на тематику фразеологизмов . Например, что значит Не писай в рюмку ; смысл выражения Чужую беду разведу руками ; перевод Do ut des ; что означает Лучше синица в руке, чем журавль в небе и т. п.
Итак, продолжим, что значит Афоризм ? Этот термин был заимствован с греческого языка, и переводится, как "определение".

Афоризм - это легко запоминающееся, чёткое определение законченной мысли, впоследствии неоднократно употребляемое людьми в своей повседневной речи. Порой афоризмами становятся отдельные фразы из фильмов или книг

Афоризм - это сочетание слов, произнесённых когда-то поэтами и писателями, и в которых заключён особый, глубокий смысл

Со временем люди всё больше узнают о жизни, в следствии чего им начинают нравится всё более, и более сложные афоризмы, и используют их периодически, если представляется такой случай.

Существуют афоризмы, которые обучают любовным премудростям, например "Любовь – как благодать. Ее невозможно приманить добрыми делами. Нельзя заслужить. Она или есть, или ее нет ".

Кроме того, довольно популярны афоризмы, которые учат жизни, например, Чарли Чаплин однажды сказал весьма толковую фразу, и она впоследствии стала крылатой, "Жизнь - это лишь проявление желаний, и никто никогда не бывает ею удовлетворен ".
Это и на самом деле так и есть, человек никогда не останавливается на достигнутом, он стремиться получить всё больше и больше. Когда он покупает велосипед, то тут же начинает мечтать о мотоцикле, после приобретения двухколёсного "тырчика", он уже изъявляет желание стать автолюбителем. Так может продолжаться вечно .

Наряду с афоризмами , которые учат премудростям жизни, имеются афоризмы о дружбе и предательстве; о войне и о мире; о смерти и о рождении; о любви и о ненависти и т. п.
Кроме того довольно популярны крылатые выражения о детях, мужчинах и женщинах, бабушках и дедушках и т. п.

Примеры Афоризмов :

Бездарность легче прощают человеку, чем талант.

Знание - сила.

Каждый слышит только то, что он понимает.

Личный пример - не просто лучший метод убеждения, а единственный.

Даже плохие примеры полезны.

Содержание статьи

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач.

Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности.

Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и (то есть ). Это можно проверить составив таблицы истинности этих высказываний:

Операции алгебры высказываний обладают следующими важными свойствами:

Отрицание :

Формулы, выделенные жирным шрифтом, называются формулами Августа де Моргана (1806–1871). Используя эти формулы, можно, в частности, преобразовывать высказывания: сложные заменять более простыми.

В алгебре высказываний, как и в другой алгебре, возможны тождественные преобразования, но логическое сложение и умножение обладают специфическими свойствами A + A = A , AA = A , A + 1 = A . Это приводит к необычности действий над многочленами алгебры высказываний. Пусть нужно перемножить два сложных высказывания:

(A + B )(A + C ) = AA + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC .

Рассмотрим теперь два первых слагаемых A + AB = A (1 + B ) = A 1 = A и аналогично A + AC = A . Таким образом, окончательно получаем (A + B )(A + C ) = A + BC .

Преобразование A + AB = A очень часто встречается в алгебре высказываний и называется «поглощение». Есть еще один вид столь же часто встречающегося тождественного преобразования, которое называется «склеивание».

Суть его состоит в следующем: (склеивание произошло по символу B ). Соответственно для сложного высказывания склейку можно произвести по символу , то есть имеет место тождественное преобразование .

Решение логических задач.

Рассмотренных выше законы алгебры высказываний могут быть применены к решению логических задач Например:

Алеша, Боря и Гриша откопали древний сосуд. О том, где и когда он был изготовлен, каждый из школьников высказал по два предположения:

Алеша: «Это сосуд греческий и сосуд изготовлен в V веке»;

Боря: «Это сосуд финикийский и сосуд изготовлен в III веке»;

Гриша: «Это не греческий сосуд и изготовлен он в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном их двух своих предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Введем обозначения простых высказываний:

«Это сосуд греческий» – ;

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Петров - врач», «Петров - шахматист» - элементарные логические высказывания. «Петров - врач и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Связь с математической логикой

Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно .

Пусть - высказывание. Если оно истинно, то пишут , если ложно, то .

Основные операции над логическими высказываниями

Отрицание логического высказывания - логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B - логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное всеобщности () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

См. также

• Утверждение

Примечания

Литература

• Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. - М.: Наука, 2003. ISBN 5-02-006257-X - С. 61-93.
• Крипке, С. А. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке / Пер. В. А. Ладова, В. А. Суровцева. Под общ. ред. В. А. Суровцева. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - 152 с. - (Библиотека аналитической философии). ISBN 5-7511-1906-1
• Курбатов, В. И. Логика. Систематический курс. - Ростов н/Д: Феникс, 2001. - 512 c. ISBN 5-222-01850-4
• Шуман, А. Н. Современная логика: теория и практика. - Минск: Экономпресс, 2004. - 416 с. ISBN 985-6479-35-5
• Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. - Санкт-Петербург: Питер Пресс, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 - С. 343-345.
• Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. - М .: Наука, 1971. - 656 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Высказывание (логика)" в других словарях:

Высказывание: Высказывание (логика) предложение, которое может быть истинно или ложно. Высказывание (лингвистика) предложение в конкретной речевой ситуации. См. также Суждение … Википедия

- (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия

Раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия

логика высказываний - ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. В логике употребляется несколько понятий В., существенно различающихся между собой. Прежде всего это понятие дескриптивного, или о п и с а тельного,… … Философская энциклопедия

Логика Бэрроуза Абади Нидхэма (англ. Burrows Abadi Needham logic) или BAN логика (англ. BAN logic) это формальная логическая модель для анализа знания и доверия, широко используемая при анализе протоколов… … Википедия

Центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия

Или Логика науки, применение идей, методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал … Философская энциклопедия