Правильные многоугольники в нашей жизни. Правильные многоугольники в науке и некоторых других сферах жизнедеятельности III

Основная цель: Расширение и систематизация сведений о многоугольниках.

Задачи обучения:

Образовательная: Повторить с учащимися формулы для вычисления площадей многоугольников. Свойства многоугольников.

Воспитательная: Показать учащимся практическое применение многоугольников в жизни человека.

Развивающая: Практическое применение и развитие логического мышления.

Ребята, цель нашего урока повторить определения, свойства многоугольников и ответить на вопрос: Зачем нужны нам эти знания? В ходе урока вы будите выполнять различные задания, а результаты заносить в лист контроля. Один правильный ответ на вопрос – один балл. В конце урока по количеству набранных баллов каждый из вас получит соответствующую отметку.

Желаю всем успеха!

II Повторение изученного:

1. Ребята, вам представлены различные многоугольники. (Слайд 2)

Выпишите номера:

1. Треугольников
2. Параллелограммов
3. Трапеций
4. Ромбов

Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и выполните проверку. Сосчитайте количество правильных ответов и запишите в лист контроля. (Слайд 3)

2). Вторым заданием проверим ваши знания определений многоугольников.

Дополните предложения или вставьте пропущенное слово. (Слайд 4)

Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и выполните проверку. Сосчитайте количество правильных ответов и запишите в лист контроля.

3. Ребята, представьте, что собрались все многоугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли придти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: “Давайте все отправимся в царство многоугольников. Кто первым придет, тот и будет королем” (Слайд 5) Все согласились. Рано утром отправились все в далекое путешествие. (Слайд 6) На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: “Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам” Часть фигур осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им повстречалась высокая гора, которая сказала, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталась у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, где был узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один многоугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем.

Вопрос: Кто стал королем?

Дополнительный вопрос: Почему квадрат стал королём?

(Так как у квадрата всех больше свойств)

4. Мы повторили определения, свойства многоугольников, но вы должны ещё уметь вычислять площади этих фигур. (Слайд 7) Вашему вниманию предлагается набор фигур и формулы вычисления площадей. Установите соответствие между ними.

Проверьте. Сосчитайте количество верных соответствий и результат занесите в лист контроля.

III. Практическое применение полученных знаний.

1. Часто в жизни мы сталкиваемся с задачами, в которых надо уметь находить площадь той или иной фигуры.

У меня есть кусок материи, площадью 38 кв. ед. (Слайд 8)

Хватит ли мне этой ткани на аппликацию, составленную из данных фигур?

Решение задачи. Проверка. Результаты в лист контроля.

2. Аппликация составлена из фигур, которые можно сложить в квадрат, называемый “Танграмм”. (Слайд 9)

Танграмм – это известная всему миру игра, созданная на основе древних китайских головоломок. По легенде, 4 тысячи лет назад у одного мужчины выпала из рук керамическая плитка и разбилась на 7 частей. Взволнованный, он посохом попытался её собрать. Но из вновь составленных частей каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие вскоре оказалось настолько захватывающим, головоломным, что составленный квадрат из семи геометрических фигур назвали Доской Мудрости. Если разрезать квадрат, как показано на рисунке выше, то получится популярная китайская головоломка ТАНГРАМ, которую в Китае называют "чи тао ту", т.е. умственная головоломка из семи частей. Название "танграмм" возникло в Европе вероятнее всего от слова" тань", что означает "китаец" и корня "грамма". У нас она сейчас распространена под названием "Пифагор"

Рисунки, составленные из различных многоугольников, применяются и в такой современной отрасли строительства, как паркетостроение. (Слайд10)

Паркетный пол во все времена считался символом престижа и хорошего вкуса. Применение для производства элитного паркета ценных пород дерева и использование различных геометрических узоров придают помещению изысканности и респектабельности.

Сама история художественного паркета очень древняя - она датируется приблизительно 12 столетием. Именно тогда в вельможных и знатных особняках, дворцах, замках и родовых поместьях стали появляться новые на то время веяния - вензеля и геральдические отличия на полу холлов, залов и вестибюлей, как знак особой принадлежности к сильным мира сего. Первый художественный паркет выкладывался достаточно примитивно, с точки зрения современности - из обычных деревянных кусочков, подходящих по цвету. Сегодня доступно формирование сложных орнаментов и мозаичных сочетаний. Это достигается благодаря лазерной и механической резке высокой точности.

Я хочу предложить вам задачу по созданию паркетного пола (Слайд 11)

Учащиеся делятся на три команды. Каждой команде выдаётся пакет с набором треугольников, параллелограммов, трапеций и лист размером 280х120 мм. Надо покрыть “пол” паркетом, предварительно сделав расчёты.(Смотри слайд 12)

Учащиеся, которые входят в команду победителей в лист контроля записывают 5 баллов, 2 место – 4 балла, 3 место – 3 балла.

IV. Подведение итогов

Вы достойно справились со всеми заданиями, давайте вспомним, а какова же цель нашего урока? Сможете ли вы теперь ответить на вопрос “Зачем нужны многоугольники?”. (Слайд 13)

Хочу привести ещё несколько примеров применения знаний о многоугольниках в нашей жизни.

При проведении тренингов: Многоугольники рисуют люди достаточно требовательные к себе и другим, добивающиеся в жизни успеха не только благодаря протекции, но и своим силам. Когда многоугольники имеют пять, шесть и больше углов, и соединены с украшениями, то можно говорить, что их рисовал эмоциональный человек, иногда принимающий интуитивные решения.

ЗНАЧЕНИЯ гадания на кофе - Правильный четырехугольник- самый хороший знак. Ваша жизнь пройдет счастливо и вы будете материально обеспечены, имеются прибыли.

Подведите итоги вашей работы по листу контроля и выставите себе итоговую отметку. (Слайд 14)

V Рефлексия

Урок оценивается детьми через Смайлики с различным настроением (Слайд 15)

Доброго времени суток, друзья!

Давненько я собиралась рассказать вам об этом нашем проекте, да все как-то руки не доходили. И вот чудо! Руки дошли! Итак, проект называется «Многоугольники вокруг нас». Как вы уже наверно догадались, это работа по математике, которую мы выполняли в 4-м классе с моей дочерью Александрой.

К работе мы подошли творчески и уверены, что наше математическое творчество может и вам пригодиться для подготовки ваших рефератов, проектов или исследовательских работ.

Работу мы озаглавили так: «Математический триллер. Охотник за многоугольниками»

А теперь привожу вам полный текст вместе со всеми фотографиями. Рассказ ведется от первого лица, автора этого научного труда.

Цель работы: практическое применение многоугольников в окружающем нас мире.

Проблемный вопрос: какое место в нашей жизни занимают многоугольники?

С детства нам знакомы различные виды многоугольников, но вот насколько часто они нам встречаются в окружающем нас мире, мы как-то не задумываемся.

Я решила внимательнее рассмотреть привычные в повседневной жизни вещи и найти в окружающих нас предметах изучаемые на уроках математики многоугольники.

Однажды, вооружившись до зубов длинной увесистой линейкой, я отправилась на охоту за многоугольниками.

Далеко идти не пришлось. Я искала их у себя дома.

Я подошла к двери на кухню и, собрав волю в кулак, включила свет! И… О ужас!!! Я почувствовала сотни многоугольных, острых и тупых, а также абсолютно прямых взглядов. Они были везде! Они без стеснения пялились на меня! Их не пугала моя линейка! Они даже не пытались спрятаться! Это не кухня! Это настоящее многоугольное королевство! Сотни многоугольников сидели на стенах (прямоугольники на рисунке обоев). Я даже не рискнула их сосчитать.

Самые хитрые прилипли к потолку (потолочные плиты имеют форму прямоугольников). И подозрительно смотрели на меня сверху.

А самые наглые забрались в посуду… и даже превратились в нее (орнамент на посуде и форма посуды представлены разными видами многоугольников).

Теперь я знаю, что многоугольники любят лепить пельмени (в форме для пельменей видны шестиугольники).

Они следят за тем, что я ем. И даже за тем, что ест моя кошка (грани коробок с продуктами имеют форму прямоугольников).

В ужасе я выскочила из кухни и направилась в зал. И вдруг увидела…, что один из многоугольников взял в плен моих попугаев (клетка состоит из элементов прямоугольной, треугольной и четырехугольной формы).

Эти нахальные фигурки не пощадили даже ребенка (элементы конструктора). Мой младший брать увлеченно играл с ними, не подозревая об опасности.

Моя любимая бабушка, не отрываясь, смотрела в другой многоугольник, который показывал ей то, что происходит в мире (экран телевизора – прямоугольник).

И вдруг раздался резкий писклявый звук!!! «Что это?», — в шоке подумала я. А это подал голос с полки еще один представитель этого многоугольного царства (сотовый телефон имеет форму прямоугольного параллелепипеда).

Я побежала в детскую, в надежде спрятаться хоть там… Но мне это не удалось.

Яркие, веселые многоугольники, радостно смеясь, покачивались на наших занавесках (геометрический рисунок ткани). «Чтоб вы свалились!», подумала я и взглянула на свой стол…

Зря я это сделала… На моем столе о чем-то беседовали два сложных многоугольника. Один синий, другой красный… (плафоны светильников можно рассматривать как комбинацию треугольников и четырехугольников).

А около них тихонько хихикали маленькие многоугольные детеныши (грани карандашей – прямоугольники, а основание – шестиугольник).

Это не квартира!!! Это логово многоугольников!!! У них здесь гнездо!!!

Даже Новый Год они встречали вместе с нами (форма многих елочных игрушек – комбинация различных многоугольников)! А мы и не в курсе были…

Я поняла, от них нигде не спрячешься. Даже в Египте (грани пирамид – треугольники, основания – прямоугольники)!

Заключение. Этот мир принадлежит многоугольникам! И нам придется смириться с этим. И научиться жить дружно с этими многоугольными созданиями.

Вот такой необычный проект у нас получился. Благодаря которому, в дневнике у Саши получилась еще одна пятерка.

Выполнен он был в программе Power Point в виде слайдов и представлен не только на уроке математики, но и на школьном конкурсе «Наука и творчество», где также был отмечен грамотой.

На нашем блоге вы найдете и другие математические проекты:

На сегодня все!

Желаем вам нескучных творческих заданий!

Живая природа .

Правильные многогранники - это самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых, знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеют форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS - додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток многих химических веществ.

Сейчас уже доказано, что процесс формирования человеческого зародыша из яйцеклетки осуществляется путем ее деления по «бинарному» закону, то есть сначала яйцеклетка превращается в две клетки. Затем на стадии четырех клеток зародыш принимает форму тетраэдра, а на стадии восьми клеток он принимает форму двух сцепленных тетраэдров (звездный тетраэдр или куб), (Приложение №1, рис.3). Из двух кубов на стадии шестнадцати клеток формируется сфера, а из сферы на определенном этапе деления образуется тор из 512 клеток. Планта Земля и ее магнитное поле тоже представляет собой тор.

Квазикристаллы Дана Шехтмана.

12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters » израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить.

Что же такое квазикристалл? Каковы его свойства и как его можно описать? Как упоминалось выше, согласно основному закону кристаллографии на структуру кристалла накладываются строгие ограничения. Согласно классическим представлениям, кристалл составляется из единственной ячейки, которая должна плотно (грань к грани) «устилать» всю плоскость без каких-либо ограничений.

Как известно, плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников , квадратов и шестиугольников . С помощью пятиугольников (пентагонов ) такое заполнение невозможно.

Таковы были каноны традиционной кристаллографии, которые существовали до открытия необычного сплава алюминия и марганца, названного квазикристаллом. Такой сплав образуется при сверхбыстром охлаждении расплава со скоростью 10 6 К в секунду. При этом при дифракционном исследовании такого сплава на экране упорядоченная картина, характерная для симметрии икосаэдра, обладающего знаменитыми запрещенными осями симметрии 5-го порядка.

Несколько научных групп во всем мире на протяжении нескольких последующих лет изучили этот необычный сплав посредством электронной микроскопии высокого разрешения. Все они подтвердили идеальную однородность вещества, в котором симметрия 5-го порядка сохранялась в макроскопических областях с размерами, близкими к размерам атомов (несколько десятков нанометров).

Согласно современным воззрениям разработана следующая модель получения кристаллической структуры квазикристалла. В основе этой модели лежит понятие «базового элемента». Согласно этой модели, внутренний икосаэдр из атомов алюминия окружен внешним икосаэдром из атомов марганца. Икосаэдры связаны октаэдрами из атомов марганца. В «базовом элементе» имеется 42 атома алюминия и 12 атомов марганца. В процессе затвердевания происходит быстрое формирование «базовых элементов», которые быстро соединяются между собой жесткими октаэдрическими «мостиками». Напомним, что гранями икосаэдра являются равносторонние треугольники. Чтобы образовался октаэдрический мостик из марганца, необходимо, чтобы два таких треугольника (по одному в каждой ячейку) приблизились достаточно близко друг к другу и выстроились параллельно. В результате такого физического процесса и образуется квазикристалличсеская структура с «икосаэдрической» симметрией.

В последние десятилетия было открыто много типов квазикристаллических сплавов. Кроме имеющих «икосаэдрическую» симметрию (5-го порядка) существуют также сплавы с декагональной симметрией (10-го порядка) и додекагональной симметрией (12-го порядка). Физические свойства квазикристаллов начали исследовать лишь недавно.

Как отмечается в упомянутой выше статье Гратиа, «механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами … Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу».

Тетраэдр в природе.

1. Фосфор

Более трехсот лет назад, когда гамбургский алхимик Геннинг Бранд открыл новый элемент - фосфор. Подобно другим алхимикам, Бранд пытался отыскать эликсир жизни или философский камень, с помощью которых старики молодеют, больные выздоравливают, а неблагородные металлы превращаются в золото. В ходе одного из опытов он выпарил мочу, смешал остаток с углем, песком и продолжил выпаривание. Вскоре в реторте образовалось вещество, светившееся в темноте. Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р 4 . Такая молекула имеет вид тетраэдра.

2. Фосфорноватистая кислота Н 3 РО 2 .

Ее молекула имеет форму тетраэдра с атомом фосфора в центре, в вершинах тетраэдра находятся два атома водорода, атом кислорода и гидроксогруппа.

3. Метан.

Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.

4. Вода.

Молекула воды представляет собой маленький диполь, содержащий положительный и отрицательный заряды на полюсах. Так как масса и заряд ядра кислорода больше чем у ядер водорода, то электронное облако стягивается в сторону кислородного ядра. При этом ядра водорода “оголяются”. Таким образом, электронное облако имеет неоднородную плотность. Около ядер водорода имеется недостаток электронной плотности, а на противоположной стороне молекулы, около ядра кислорода, наблюдается избыток электронной плотности. Именно такая структура и определяет полярность молекулы воды. Если соединить прямыми линиями эпицентры положительных и отрицательных зарядов получится объемная геометрическая фигура - правильный тетраэдр.

5. Аммиак.

Каждая молекула аммиака имеет не поделённую пару электронов у атома азота. Орбитали атомов азота, содержащие не поделённые пары электронов, перекрываются с sp 3 -гибридными орбиталями цинка(II), образуя тетраэдрический комплексный катион тетраамминцинка(II) 2+ .

6. Алмаз

Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Атомы, расположенные в вершинах тетраэдра, образуют центр нового тетраэдра и, таким образом, также окружены каждый еще четырьмя атомами и т.д. Все атомы углерода в кристаллической решетке расположены на одинаковом расстоянии (154 пм) друг от друга.

Куб (гексаэдр) в природе.

Из курса физики известно, что вещества могут существовать в трёх агрегатных состояниях: твёрдом, жидком, газообразном. Они образуют кристаллические решётки.

Кристаллические решётки веществ - это упорядоченное расположение частиц (атомов, молекул, ионов) в строго определённых точках пространства. Точки размещения частиц называют узлами кристаллической решётки.

В зависимости от типа частиц, расположенных в узлах кристаллической решётки, и характера связи между ними различают 4 типа кристаллических решёток: ионные, атомные, молекулярные, металлические.

ИОННЫЕ

Ионными называют кристаллические решетки, в узлах которых находятся ионы. Их образуют вещества с ионной связью. Ионные кристаллические решётки имеют соли, некоторые оксиды и гидроксиды металлов. Рассмотрим строение кристалла поваренной соли, в узлах которого находятся ионы хлора и натрия. Связи между ионами в кристалле очень прочные и устойчивые. Поэтому вещества с ионной решёткой обладают высокой твёрдостью и прочностью, тугоплавки и нелетучи.

Форму куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие).

МОЛЕКУЛЯРНЫЕ

Молекулярными называют кристаллические решётки, в узлах которых располагаются молекулы. Химические связи в них ковалентные, как полярные, так и неполярные. Связи в молекулах прочные, но между молекулами связи не прочные. Ниже представлена кристаллическая решётка I 2. Вещества с МКР имеют малую твёрдость, плавятся при низкой температуре, летучие, при обычных условиях находятся в газообразном или жидком состоянии. многогранник симметрия тетраэдр

Икосаэдр в природе.

Фуллерены - удивительные полициклические структуры сферической формы, состоящие из атомов углерода, связанных в шести - и пятичленные циклы. Это новая модификация углерода, для которой, в отличие от трех ранее известных модификаций (алмаза, графита и карбина), характерна не полимерная, а молекулярная структура, т.е. молекулы фуллеренов дискретны.

Свое название эти вещества получили по имени американского инженера и архитектора Ричарда Букминстера Фуллера, конструировавшего полусферические архитектурные сооружения, состоящие из шести- и пятиугольников.

Впервые фуллерены C 60 и C 70 были синтезированы в 1985 г Х. Крото и Р. Смолли из графита под действием мощного лазерного пучка. Получить C 60 -фуллерен в количествах, достаточных для исследований, удалось в 1990 г Д. Хаффману и В. Кретчмеру, которые провели испарение графита с помощью электрической дуги в атмосфере гелия. В 1992 г. были обнаружены природные фуллерены в углеродном минерале - шугните (свое название этот минерал получил от названия поселка Шуньга в Карелии) и других докембрийских породах.

Молекулы фуллеренов могут содержать от 20 до 540 углеродных атомов, расположенных на сферической поверхности. Наиболее устойчивое и лучше изученное из этих соединений - C 60 -фуллерен (60 атомов углерода) состоит из 20 шестичленных и 12 пятичленных циклов. Углеродный скелет молекулы C 60 -фуллерена представляет собой усечённый икосаэдр .

В природе встречаются объекты, обладающие симметрией 5-го порядка. Известны, например, вирусы, содержащие кластеры в форме икосаэдра.

Строение аденовирусов также имеет форму икосаэдра. Аденовирусы (от греческого aden - железо и вирусы), семейство ДНК-содержащих вирусов, вызывающих у человека и животных аденовирусные болезни.

Вирус гепатита В - возбудитель гепатита В, основной представитель семейства гепадновирусов. Это семейство включает также гепатотропные вирусы гепатита сурков, сусликов, уток и белок. Вирус ГВ является ДНК-содержащим. Он представляет собой частицу диаметром 42-47 нм, состоит из ядра - нуклеоида, имеющего форму икосаэдра диаметром 28 нм, внутри которого находятся ДНК, концевой белок и фермент ДНК-полимераза.

Учитель Бреусова Л.М.

Кгу «Гимназия №2»

Класс 9

9.02.17.

Тема

Правильные многоугольники

Исследовать виды многоугольников, уметь выполнять различные задания на применение знаний о правильных многоугольниках и формулы угла правильного п -угольника, формирующие критическое мышление учащихся

Задачи

Образовательные:

знать определение понятия правильный многоугольник;

актуализировать, расширить и систематизировать знания о многоугольниках

провести исследование количества составных элементов многоугольников (от треугольника до п -угольника);

уметь решать практические задачи.

Развивающие:

развивать логическое мышление при решении задач различными способами и творческих заданий;

формировать навыки работы с текстом, с новыми понятиями:

развитие исследовательской и познавательной деятельности;

стимулировать ребят к поиску различных способов решения задач;

формировать критическую оценку своей деятельности и осуществлять взаимооценку.

Социокультурные:

воспитывать умение преодолевать трудности в достижении цели и упорства в ее достижении, умение работать в группе;

развитие интереса у учащихся к предмету математика;

учиться быть толерантным, оказывать взаимопомощь;

воспитывать уверенность в своих силах, трудолюбие, активность, внимание, ответственность за порученное дело.

Тип урока:

Комбинированный, с применением технологии критического мышления

Формы работы:

Индивидуальна, работа в группах., исследовательская

Ресурсные материалы:

Основные: тетрадь и учебник.

Дополнительные: ватман для построения кластеров, карточки с заданиями, плакаты с эпиграфом, девизом и др. высказываниями, карточки с домашним заданием, плакат с ребусом, таблица для исследования, кубик с заданиями, различные наглядные картинки.

Критерии успеха:

Я знаю определение правильного многоугольника.

Я понимаю как вычислить угол правильного многоугольника.

Я умею определять вид правильного многоугольника, по отношению к сторонам и углам.

Я умею самостоятельно оценивать свою работу и работу других учеников.

Ожидаемые результаты:

- определят тему и цель урока,

Сформулируют знания о понятии правильного многоугольника,

Примут участие в групповой работе;

- научатся применять свои знания для вычисления углов правильного многоугольника;

Используют полученные знания при решении практических заданий;

- определят значимость изученной темы для себя, проявят лидерские качества, организуют работу в группе;

Активное использование речевых средств и средств информационных и коммуникационных технологий для решения коммуникативных и познавательных задач;

Научатся формативно оценивать себя и других учащихся.

микроцель этапа: Обеспечение благоприятного климата для работы на уроке и психологическая подготовка учащихся к предстоящему заданию.

Приветствие. Здравствуйте, дети.

Вот и настал наш урок.

Я желаю нам сегодня хорошего урока.

Психологический настрой на урок. Ребята по очереди рассуждют: «Не забудем взять с собой…»

Варианты ответов:

Уважение к друг другу;

Знание материала;

Желание открыть истину;

Добросовестная работа. и т.д.

Стратегия «Приветствие»

2 Мотивация урока.

Китайский философ сказал Конфуций: «Учение без размышления бесполезно, но и размышления без учения опасно» Пусть эти слова послужат девизом сегодняшнего урока

Внимательно слушают, рассуждают

3. Актуализация знаний Повторение основных понятий: многоугольник, виды многоугольников, их определения и свойства.

микроцель этапа: Актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.

Учитель предлагает ученикам с целью повторения основных понятий по теме «Многоугольники» выполнить кластер. И построить многоугольники

Задание:

1)Построить многоугольник

2)Определите вид многоугольника, если…»

каждый его внутренний угол равен 60°, каждый его внутренний угол равен 90°, каждый его внутренний угол равен 120°

; каждый его внутренний угол равен 108°

каждый его внешний угол равен 72° каждый его внешний угол равен 120°

каждый его внешний угол равен 90°,

его внешний угол равен 60°;

радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности;

каждая сторона равна радиусу описанной окружности;

каждая сторона в два раза больше радиуса вписанной окружности;

из каждой вершины многоугольника можно провести две диагонали;

из каждой вершины можно провести три диагонали, две из которых равны между собой;

центральный угол равен 60°

центральный угол равен 90°

центральный угол равен 120°;

центральный угол равен 72°

• все его диагонали равны;

  сумма внешних углов равна 360°;

  сумма его внутренних углов равна сумме его внешних углов;

  центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

4 учащихся(от каждой команды по 1 ученику)выполняют построение

многоугольников

Остальные члены команды выбирают свойства соответствующие их многоугольнику и 1 представитель от команды отвечает у доски

По окончанию защиты выставляют оценки в оценочный лист

(Групповая самостоятельная работа; методы: анализ, синтез, сравнение; создание ситуации увлеченности поиском неизвестного)

Оценивается общая картина класстера, но участие в его построении оценивается учителем индивидуаль-но каждого

3)составить общий кластер для правильного многоугольника

Сообщают все сведения о правильных многоугольниках составляя кластер

Групповая работа

Оценивает группу

микроцель:

Определение темы урока

4) Определить тему урока

Выявляют неизученный вопрос и определяют тему урока,убирая с кластера известные факты. Остаётся -многоугольники в жизни.

Фронтальная работа

формативное устное поощрение учителя

микроцель:

провести исследование прменения каждого правильного многоугольника в жизни

5)Задачи групп:

1.Квадрат .

В кондитерском цехе сделали круглый торт радиусом 18 см.для упаковки есть четыре коробки:квадратной формы и формы правильного шестиугольника треугольника,пятиугольника.В какую коробку войдёт торт,если сторона треугольной коробки 26см.,квадратной коробки36 см,пятиугольной- 19 см., шестиугольной -20см?

2.Шестиугольник

Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат,пятиугольник и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?

Площадь одной соты равна 1,2 кв

3.Пятиугольник

Это замечательное здание, имеющее форму правильного многоугольника с внутренним углом, равным 108 градусов Проверте может ли оно иметь форму вашего многоугольника Как оно называется?

4.Треугольник Можно ли построить паркет из правильных треугольников Из каких правильных многоугольников можно построить правильный паркет

Каждая группа представляет в виде призентации свою фигуру,предлагает решить творческую задачу по своей фигуре.

Исследовательская работа в группах

Применение современных компьютерных технологий

Оценивает группу

Творческие задания в группах

микроцель этапа:

Формирование логического мышления, математической грамотности

применять знания по теме при решении практических задач.

Творческое задание «Моментальная лотерея»

Предлагаю ученикам выбрать задания, применяя игровой момент «Кубик». Перед выбором и прочтением задания предлагаю совместно разработать критерии оценивания работ.

Задача №1.Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Задача №2 Из жести в форме круга вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести ушло в отходы?

Задача №3: Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом, периметр которого 24 см. Какой наибольшей площади можно выточить из этого бруска круглый стержень.

Задача №4: Длина окружности поперечного сечения цилиндрического стержня 314 см. Из этого стержня надо изготовить винт газовой задвижки, опилив его конец под правильную трёхгранную форму. Какой наибольший размер может иметь ребро?

Задача 5. Бак имеет форму куба с ребром 1,5 м. Учитывая, что на 7 м 2 уходит 1 банка краски, сколько нужно банок краски, чтобы покрасить этот бак

Задача №6 Жители села решил разбить клумбу в парке отдыха. Клумба имеет вид правильного шестиугольника без правильного треугольника, вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника. Сторона шестиугольника 6 метров. Вычислите площадь этой клумбы. Определите плату за вскапывание клумбы, если за вскапывание 1 кв. м земли надо платить 100 тенге.

Один из участников группы, кидает кубик с заданиями и определяет задание для группы

Ученики выполняют задание на листке бумаги А3.

После выполнения задания учащиеся озвучивают классу задачу и ее решение.

Группы оценивают друг друга.

Рефлексия

Продолжите фразу:

«Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я познакомился…»

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

«Сегодня на уроке я совершенствовал…»

Итог урока

А нализируют, контролируют и оценивают результат Заполняют листы контроля,выставляют оценки.

суммативное оценивание

Даёт инструкцию по осуществлению контрольно-оценивающей деятельности

Постановка домашнего задания

Задание ученики выбирают по желанию из предложенных:

1) Доказать, что у правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности, используя: свойство медиан, понятие синуса угла и др.
2) Придумать и решить практическую задачу по теме «Правильные многоугольники»
3) Изготовить узор, паркет, др. из правильных многоугольников.

Технология личностно- ориентированного обучения

Коментирует.

Лист контроля Ф. И.___________________________________________

Задание №1

Построение и защита свойств

10

Задание №2

Задача «треугольников»

Задание №3

Задача

«Квадратов»

Задание №4

Задача

пятиугольников

Задание №5

Задача 6-угольников.

Задание №6

лоторея

Индивидуальные ответы.

Всего

баллов

Баллы

10

5

5

5

5

3

1

34

«5» 33балла и выше «4»25 -32 баллов «3» 17-24балла

Районная научно – практическая конференция Секция Математика Александрова Кристина, Алексеева Валерия МБОУ «Ковалинская ООШ» 8 класс Руководитель: Николаева И.М, учитель математики МОУ «Ковалинская ООШ» Урмары, 2012 Содержание исследовательской работы: 1. Введение. 2. Актуальность выбранной темы. 3. Цель и задачи 4. Многоугольники 5. Правильные многоугольники 1). Магические квадраты 2). Танграмм 3). Звездчатые многоугольники 6. Многоугольники в природе 1). Пчелиные соты 2). Снежинка 7. Многоугольники вокруг нас 1). Паркет 2). Тесселляции 3). Лоскутное шитье 4). Орнамент, вышивка, вязание 5). Геометрическая резьба 8. Примеры из жизни 1). При проведении тренингов 2). Значения гадания на кофе 3). Хиромантия - гадание по руке 4). Удивительный многоугольник 5) Число пи и правильные многоугольники 9. Правильные многоугольники в архитектуре 1). Архитектура города Москвы и других городов мира. 2). Архитектура города Чебоксар 3). Архитектура села Ковали 10. Вывод. 11. Заключение. Введение В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. Важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Человек не может по настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы. “Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идея так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”. Актуальность выбранной темы На уроках геометрии в этом году мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Многие окружающие нас предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Поверхности кирпича, куска мыла состоят из шести граней. Комнаты, шкафы, ящики, столы, железобетонные блоки напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед, грани у которых - знакомые нам четырехугольники. Многоугольники, несомненно, обладают красотой и используются в нашей жизни очень обширно. Многоугольники важны для нас, без них мы бы не смогли строить такие прекрасные здания, скульптуры, фрески, графики и многое другое. Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которая свойственна лишь величайшим образцам искусства. Интерес к теме «Многоугольники» у меня появился после урока – игры, где учительница представила нам задачу – сказку о выборе короля. Собрались все многоугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли придти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: “Давайте все отправимся в царство многоугольников. Кто первым придет, тот и будет королем” Все согласились. Рано утром отправились все в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: “Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам” Часть фигур осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им повстречалась высокая гора, которая сказала, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталась у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, где был узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один многоугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем. Вот и выбрали короля. Я тоже выбрала себе тему для исследовательской работы. Цель исследовательской работы: Практическое применение многоугольников в окружающем нас мире. Задачи: 1. Провести литературный обзор по теме. 2. Показать практическое применение правильных многоугольников в окружающем нас мире. Проблемный вопрос: Какое место в нашей жизни занимают многоугольники? Методы исследовательской работы: Сбор и структурирование собранного материала на различных этапах исследования. Выполнение рисунков, чертежей; фотографий. Предполагаемое практическое применение: Возможность применения полученных знаний в повседневной жизни, при изучении тем на других предметах. Знакомство и обработка литературных материалов, данных из Интернета, встреча с жителями села. Этапы исследовательской работы: · выбор интересующей темы исследования, · обсуждение плана исследования и промежуточных результатов, · работа с разными информационными источниками; · промежуточные консультации с учителем, · публичное выступление с показом презентационного материала. Используемая аппаратура: Цифровой фотоаппарат, мультимедийное оборудование. Гипотеза: Многоугольники создают красоту в окружении человека. Тема исследования Свойства многоугольников в быту, жизни, природе. Примечание: Все выполненные работы содержат не только информационный, но и научный материал. Каждый раздел имеет компьютерную презентацию, которая иллюстрирует каждое направление исследования. Экспериментальная база. Успешному проведению исследовательской работы содействовало занятие в кружке «Геометрия вокруг нас» и уроки геометрии, географии, физики. Краткий литературный обзор: Многоугольниками познакомились на уроках геометрии. Дополнительно узнали из книги Я.И.Перельман «Занимательная геометрия», журнала «Математика в школе», газеты «Математика», энциклопедического словаря юного математика под редакцией Б.В.Гнеденко. Некоторые данные взяла из журнала «Читаем, учимся, играем». Многие сведения получены из Интернета. Личный вклад: Для того, чтобы связать свойства многоугольников с жизнью, стали беседовать учениками и учителями, у которых бабушки, дедушки или другие родственники занимались резьбой, вышиванием, вязанием, лоскутным шитьем и т.д. От них мы получали ценные информации. Содержание исследовательской работы: Многоугольники Мы решили исследовать такие геометрические фигуры, которые встречаются вокруг нас. Заинтересовавшись проблемой, мы составила план работы. Решили изучить: использование многоугольников в практической деятельности человека. Чтобы ответить на поставленные вопросы мы должна была: подумать самостоятельно, спросить у другого человека, обратиться к книгам, провести наблюдение. В книгах мы искали ответы на вопросы. - Какие многоугольники мы изучили? Провели наблюдение, чтобы ответить на вопрос. - Где я могу это увидеть? На уроке было проведено внеклассное мероприятие по математике «Парад четырехугольников», на котором узнали о свойствах четырехугольников. Геометрия в архитектуре. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Многие жилые дома украшаются колоннами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке соборов и конструкциях мостов. Геометрия в природе. В самой природе много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и разнообразны многоугольники, созданные природой. I. Правильные многоугольники Геометрия – древнейшая наука и первые расчёты производили свыше тысячи лет назад. Древние люди составляли на стенах пещер орнаменты из треугольников, ромбов, кругов. Правильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Со временем человек научился использовать свойства фигур в практической жизни. Геометрия в быту. Стены, пол и потолок являются прямоугольниками. Многие вещи напоминают квадрат, ромб, трапецию. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы. Одним из таких многоугольников является квадрат или другими словами, квадрат- это правильный четырехугольник. Дать определение квадрату можно несколькими способами: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны и квадрат – это ромб, у которого все углы прямые. Из школьного курса геометрии известно: у квадрата все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. У квадрата есть ряд интересных свойств. Так, например, если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади, то следует выбрать этот участок в виде квадрата. Квадрат обладает симметрией, которая придает ему простоту и известное совершенство формы: квадрат служит эталоном при измерении площадей всех фигур. В книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемского и Н.В. Русалева подробно изложены доказательства некоторых свойств квадрата, приведены пример «совершенного квадрата» и решение одной задачи на разрезание квадрата арабским математиком Х века Абулом Вефой. В книге И. Лемана «Увлекательная математика» собрано несколько десятков задач, среди которых есть и такие, возраст которых исчисляется тысячелетиями. Для полного представления о построении при помощи перегибания квадратного квадрата листа бумаги была использована книга И.Н. Сергеева «Примени математику”. Здесь можно перечислить ряд головоломок из квадрата: магические квадраты, танграмм, пентамино, тетрамино, полимино, стомахион, оригами. Хочу рассказать о некоторых из них. 1. Магические квадраты Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел. Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. 2. Танграмм Танграмм – это известная всему миру игра, созданная на основе древних китайских головоломок. По легенде, 4 тысячи лет назад у одного мужчины выпала из рук керамическая плитка и разбилась на 7 частей. Взволнованный, он посохом попытался её собрать. Но из вновь составленных частей каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие вскоре оказалось настолько захватывающим, головоломным, что составленный квадрат из семи геометрических фигур назвали Доской Мудрости. Если разрезать квадрат, то получится популярная китайская головоломка ТАНГРАМ, которую в Китае называют "чи тао ту", т.е. умственная головоломка из семи частей. Название "танграмм" возникло в Европе вероятнее всего от слова" тань", что означает "китаец" и корня "грамма". У нас она сейчас распространена под названием "Пифагор" 3. Звездчатые многоугольники Кроме обычных правильных многоугольников, существуют еще и звездчатые. Термин «звездчатый» имеет общий корень со словом «звезда», и это указывает не его происхождение. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его. Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции. Именно морская пятиконечная звезда “подсказала” нам золотую пропорцию. Это соотношение впоследствии назвали “золотым сечением”. Там, где оно присутствует, ощущается красота и гармония. Хорошо сложённый человек, статуя, великолепный Парфенон, созданный в Афинах, тоже подчинены законам золотого сечения. Да, вся жизнь человеческая нуждается в ритме и гармонии. 4. Звездчатые многогранники Звёздчатый многогранник – восхитительное красивое геометрическое тело, созерцание которого даёт эстетическое наслаждение. Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звёздчатые многогранники. Известно несколько тысяч различных типов снежинок. Но Луи Пуансо через 200 лет удалось открыть два других звёздчатых многогранника. Поэтому теперь звёздчатые многогранники называют телами Кеплера – Пуансо. С помощью звёздчатых многогранников в скучную архитектуру наших городов врываются невиданные космические формы. Необычный многогранник “Звезда” доктора искусствоведческих наук В. Н. Гамаюнова вдохновил архитектора В. А. Сомова на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске. У великого Иоганна Кеплера известна книга “Гармония мира”, а в произведении “О шестиугольных снежинках” он писал: “Построение пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют “божественной”. Он открыл первые два правильных звёздчатых многогранника. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Вывод: Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Звёздчатый многогранник – восхитительное красивое геометрическое тело, созерцание которого даёт эстетическое наслаждение. Древние люди видели красоту на стенах пещер в орнаментах из треугольников, ромбов, кругов. Правильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Звездчатый пятиугольник - пентаграмма считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком пифагорейцев. II. Многоугольники в природе 1. Пчелиные соты Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой многоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Конечно, геометрию они не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических фигур. На этих шестиугольниках пчёлы выращивают из воска ячейки. В них пчёлы и откладывают мёд, а за тем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска. Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр? Пусть S- площадь каждой из названных фигур, сторона а n- соответствующего правильного nугольника. Для сравнения периметров запишем их соотношение: Р3: Р4: Р6 = 1: 0,877: 0,816 Мы видим, что из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчёлы, экономят воск и время для построения сот. На этом математические секреты пчёл не заканчиваются. Интересно и дальше исследовать строение пчелиных сот. Расчётливые пчёлы заполняют пространство так, что не остаётся просветов, экономя при этом 2% воска. Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». Так с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, ещё раз убедившись во всесторонней эффективности математики. Итак, пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади. В нашей деревне живет пчеловод Николай Михайлович Кузнецов. Он с раннего детства занимается пчелами. Он объяснил, что строя соты, пчелы инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом как можно меньше воска. Шестиугольная форма является наиболее экономичной и эффективной фигурой для строительства сот. Объём ячейки - около 0,28 см3. При строительстве сотов пчелы используют магнитное поле земли в качестве ориентира. Ячейки сотов бывают трутневые, медовые и расплодные. Отличаются размером и глубиной. Медовые - глубже, трутневые - шире. 2. Снежинка. Снежинка - одно из самых прекрасных созданий природы. Природная шестиугольная симметрия проистекает из-за свойств молекулы воды, которая имеет гексагональную кристаллическую решетку, удерживаемую водородными связями, и это позволяет ей иметь в условиях холодной атмосферы структурную форму с минимальной потенциальной энергией. Красота и разнообразие геометрических форм снежинок по сей день считается уникальным природным явлением. Особенно математиков поразила найденная в середине снежинки «крошечная белая точка, точно это был след ножки циркуля, которым пользовались, чтобы очертить ее окружность». Великий астроном Иоганн Кеплер в своем трактате "Новогодний дар. О шестиугольных снежинках" объяснил форму кристаллов волей Божьей. Японский ученый Накая Укитиро называл снег "письмом с небес, написанным тайными иероглифами". Он первым создал классификацию снежинок. Именем Накая назван единственный в мире музей снежинок, расположенный на острове Хоккайдо. Так почему же снежинки шестиугольны? Химия: В кристаллической структуре льда каждая молекула воды участвует в 4 водородных связях, направленных к вершинам тетраэдра под строго определенными углами, равными 109°28" (при этом в структурах льда I, Ic, VII и VIII этот тетраэдр правильный). В центре этого тетраэдра находится атом кислорода, в двух вершинах - по атому водорода, электроны которых задействованы в образовании ковалентной связи с кислородом. Две оставшиеся вершины занимают пары валентных электронов кислорода, которые не участвуют в образовании внутримолекулярных связей. Теперь становится понятным, почему кристалл льда шестиугольный. Главная особенность, определяющая форму кристалла - это связь между молекулами воды, подобная соединению звеньев в цепи. Кроме того, из-за различного соотношения тепла и влаги кристаллы, которые в принципе должны быть одинаковыми, приобретают различную форму. Сталкиваясь на своем пути с переохлажденными мелкими капельками, снежинка упрощается по форме, сохраняя при этом симметрию. Геометрия: Формообразующее начало избирало правильный шестиугольник не в силу необходимости, обусловленной свойствами вещества и пространства, а лишь из-за присущего ему свойства сплошь, без единого зазора покрывать плоскость и быть наиболее близкой к кругу из всех фигур, обладающих тем же свойством. Учитель физики – Софронова Л.Н При температурах ниже 0оС водяной пар сразу переходит в твердое состояние и вместо капель образуются ледяные кристаллы. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них новые, и так получаются те разнообразные формы звездочек - снежинок, которые хорошо нам знакомы. Учитель математики – Николаева И.М. Из всех правильных геометрических фигур только треугольники, квадраты и шестиугольники могут заполнить плоскость, не оставляя пустот, причем правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Зимой у нас снега много. Потому природа выбрала шестиугольные снежинки, чтобы занимать меньше места. Учитель химии – Маслова Н.Г. Шестиугольная форма снежинок объясняется молекулярным строением воды, а вот на вопрос, почему снежинки плоские, пока ответа так и не найдено. Красоту снежинок выражает E. Евтушенко в своем стихотворении. От снежинки до льда Он лег на землю и на крыши, Всех белизною поразив. И был действительно он пышен, И был действительно красив.. . III. Многоугольники вокруг нас "Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнейшую часть известной нам высшей математики" Герман Вейль. 1. Паркет Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, «паркет». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола. Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики математики используют простые многоугольники, например, квадраты, треугольники, шестиугольники, восьмиугольники или комбинации этих фигур. Красивы паркеты из правильных многоугольников: треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, восьмиугольников. Например, круги не могут образовать паркет. Паркетный пол во все времена считался символом престижа и хорошего вкуса. Применение для производства элитного паркета ценных пород дерева и использование различных геометрических узоров придают помещению изысканности и респектабельности. Сама история художественного паркета очень древняя - она датируется приблизительно 12 столетием. Именно тогда в вельможных и знатных особняках, дворцах, замках и родовых поместьях стали появляться новые на то время веяния - вензеля и геральдические отличия на полу холлов, залов и вестибюлей, как знак особой принадлежности к сильным мира сего. Первый художественный паркет выкладывался достаточно примитивно, с точки зрения современности - из обычных деревянных кусочков, подходящих по цвету. Сегодня доступно формирование сложных орнаментов и мозаичных сочетаний. Это достигается благодаря лазерной и механической резке высокой точности. В начале XIX века вместо изысканных линий рисунка паркета появились простые линии, чистые контуры и правильные геометрические формы, а в композиционном построении - строгая симметрия. Все устремления в декоративном искусстве направляются на отображение героики и своеобразно осмысленной классической древности. Паркет приобрел суровую геометричность: то сплошные шашки, то круги, то квадраты или многоугольники с членением их узкими полосами в различных направлениях. В газетах того времени можно было встретить объявления, в которых предлагалось выбрать паркет именно такого рисунка. Характерным паркетом русской классики XIX века является паркет, выполненный по проекту архитектора Воронихина в доме Строгановых на Невском проспекте. Весь паркет состоит из больших щитов с точно повторяющимися косо поставленными квадратами, на перекрестье которых скромно даны четырехлепестковые розетки, слегка прорисованные графем. Самыми типичными паркетами начала XIX века являются паркеты архитектора К. Росси. Почти все рисунки в них отличаются большой лаконичностью, повторностью, геометризмом и четким членением прямо или косо поставленными рейками, объединявшими весь паркет апартамента. Архитектор Стасов выбирал паркеты, которые состояли из простых форм квадратов и многоугольников. Во всех проектах Стасова чувствуется та же строгость, что и у Росси, но необходимость выполнения восстановительной работы, которая выпала на его долю после пожара дворца, делает его разностороннее и шире. Так же, как у Росси, паркет Стасова Голубой гостиной Екатерининского дворца строился из простых квадратов, объединенных горизонтальными, вертикальными или диагональными рейками, образующими большие клетки, делящие каждый квадрат на два треугольника. Геометризм наблюдается также в паркетах библиотеки Марии Федоровны, где только разнообразие цвета паркета - розовое дерево, амарант, красное дерево, палисандр и пр. - вносит некоторое оживление. Преобладающий цвет паркета составляет красное дерево, на котором стороны прямоугольников и квадратов даны грушевым деревом, обрамленным тонким слоем черного дерева, что придает еще большую четкость и линейность всему рисунку. По клену на всем паркете обильно дается графе в виде лент, дубовых листьев, розеток и ионитов. Во всех этих паркетах нет главного центрального рисунка, все они состоят из повторяющихся мотивов геометрической формы. Аналогичный паркет сохранился в бывшем доме Юсупова в СанктПетербурге. Архитекторы Стасов и Брюллов восстанавливали апартаменты Зимнего дворца после пожара 1837 года. Паркеты Зимнего Стасов создавал в торжественно-монументальном и официальном стиле русской классики 30-х годов XIX века. Цвета паркета также выбирались исключительно классические. В выборе паркета, когда не надо было сочетать паркет с рисунком плафона, Стасов остается, верен своим композиционным принципам. Так, например, паркет галереи 1812 года отличается сухой и торжественной величавостью, которая достигалась повторностью простых геометрических форм, обрамленных фризом. 2. Тесселляции Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь" (1938), серия картин "Предел круга" I-IV, и знаменитые "Метаморфозы" I-III (1937-1968). Примеры ниже - картины современных авторов Холлистера Девида (Hollister David) и Роберта Фатауэра (Robert Fathauer). 3. Лоскутное шитьё из многоугольников Если с полосами, квадратами и треугольниками можно справиться без особой подготовки и без навыков с помощью швейной машинки, то многоугольники потребуют от нас много терпения и мастерства. Очень многие мастерицы лоскутного шитья предпочитают многоугольники собирать вручную. Жизнь каждого человека – это своеобразное лоскутное полотно, где яркие и волшебные мгновения чередуются с серыми и черными днями. Существует притча о лоскутном шитье. «Одна женщина пришла к мудрецу и говорит: "Учитель, все у меня есть: и муж, и дети, и дом - полная чаша, но стала я думать: зачем все это? И жизнь моя развалилась, все не в радость!" Выслушал её мудрец, задумался и посоветовал попробовать сшить свою жизнь. Ушла женщина от мудреца в сомнении, но попробовала. Взяла иголку, нитки и пришила лоскуток своих сомнений к клочку голубого неба, который видела в окне своей комнаты. Засмеялся её маленький внук, и пришила она кусочек смеха к своему полотну. Так и пошло. Запоет птица - и ещё один лоскуток добавляется, обидят до слез - ещё один. Из лоскутного полотна получались одеяла, подушки, салфетки, сумочки. И все, к кому они попадали, чувствовали, как кусочки тепла поселялись в их душе, и им уже никогда не было одиноко, и никогда жизнь не казалась им пустой и бесполезной» Каждая мастерица как бы творит полотно своей жизни. В этом можно убедиться на работах Горшковой Ларисы Николаевны. Она увлеченно трудится созданием лоскутных одеял, покрывал, ковриков, черпая вдохновение в каждой своей работе. 4. Орнамент, вышивка и вязание. 1). Орнамент Орнамент - один из древнейших видов изобразительной деятельности человека, в далёком прошлом несший в себе символический магический смысл, некую знаковость. Орнамент был почти исключительно геометрическим, состоящим из строгих форм круга, полукруга, спирали, квадрата, ромба, треугольника и их различных комбинаций. Древний человек наделял определёнными знаками свои представления об устройстве мира. При всем том, орнаментисту открыт широкий простор при выборе мотивов для его композиции. Их доставляют ему в изобилии два источника - геометрия и природа. Например, круг – солнце, квадрат – земля. 2). Вышивка Вышивка является одним из основных видов чувашского народного орнаментального искусства. Современная чувашская вышивка, ее орнаментика, техника, цветовая гамма генетически связаны с художественной культурой чувашского народа в прошлом. Искусство вышивания имеет многовековую историю. Из поколения в поколение отрабатывались и улучшались узоры и цветовые решения, создавались образцы вышивок с характерными национальными чертами. Вышивки народов нашей страны отличаются большим своеобразием, богатством технических приемов, цветовыми решениями. Каждый народ в зависимости от местных условий, особенностей быта, обычаев и природы создавал свои приемы вышивки, мотивы узоров, их композиционное построение. В русской вышивке, например, большую роль играет геометрический орнамент и геометризированные формы растений и животных: ромбы, мотивы женской фигуры, птицы, а также барса с поднятой лапой. В форме ромба изображалось солнце, птица символизировала приход весны и т.д. Большой интерес представляют собой вышивки народов Поволжья: марийцев, мордвы и чувашей. Вышивки этих народов имеют много общих черт. Различия составляют мотивы узоров и их техническое исполнение. Узоры вышивок, составленные из геометрических форм и сильно геометризированных мотивов. Старая чувашская вышивка чрезвычайно разнообразна. Различные виды ее применялись при изготовлении одежды, в частности холщовой рубахи. На рубахе богато украшалось вышивкой грудь, подол, рукава, спина. И поэтому, я считаю, что чувашскую национальную вышивку следует начать с описания женской рубахи, как наиболее красочно и богато украшенной орнаментом. На плечах и рукавах этого типа рубахи расположена вышивка геометрического, стилизованного растительного, а иногда животного орнамента. Плечевая вышивка по своему характеру отличается от нарукавной, и она является как бы продолжением плечевой. На одной из старинных рубах вышивка вместе с нашивками тесьмы, спускаясь с плеч, идет вниз и заканчивается на груди острым углом. Нашивки располагаются в виде ромбов, треугольников, квадратов. Внутри этих геометрических фигур - вышивка мелкая, сетчатая, а по наружному краю вышиты крупные крючкообразные и звездообразные фигуры. Такие вышивки сохранились в доме Николаевых. Вышивала их Денисова Прасковья Петровна, моя родственница. Ещё один вид женского рукоделия - вязание крючком. С древних времен женщины вязали много и неустанно. Этот вид рукоделия не менее увлекателен, чем вышивание. Вот одна из работ Тамары Федоровны. Она же поделилась с нами своими воспоминаниями о том, как каждую девочку в деревне учили вышивать крестиком по канве и гладью, вязать прошвы. По количеству вывязанных прошв, по вещам, украшенным вышивкой, кружевом, судили о девушке как о невесте и будущей хозяйке. Узоры прошв были разные, они передавались из поколения в поколение, их придумывали сами мастерицы. Повторяется в орнаменте прошвы цветочный мотив, геометрические фигуры, плотные столбики, застланные и незастланные решеточки. Тамара Федоровна в свои 89 лет занимается вязанием крючком. Вот ее рукоделия. Вяжет она для детей, родственников, соседей. Принимает даже заказы. Вывод: Зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения. И все это красота окружает нас. Потребность украшать предметы быта появилась у людей давно. 5. Геометрическая резьба Так сложилось, что Русь - страна лесов. И такой благодатный материал, как древесина, всегда был под рукой. С помощью топора, ножа и некоторых других вспомогательных инструментов человек обеспечивал себя всем необходимым для: жизни: возводил жилище и хозяйственные постройки, мосты и ветряные мельницы, крепостные стены и башни, церкви, изготавливал станки и орудия труда, корабли и лодки, сани и телеги, мебель, посуду, детские игрушки и многое другое. В праздники и часы досуга веселил и душу залихватские наигрыши на деревянных музыкальных инструментах: балалайках» свирели, скрипке, гудках. А звонкоголосый деревянный рожок был непременным спутником деревенского пастуха, С песней рожка начиналась трудовая жизнь русской деревни. Из дерева делали даже хитроумные и надежные замки для дверей. Один из таких замков хранится в Государственном историческом музее в Москве. Изготовил его мастер-древодел еще в XVIII веке, любовно украсив трехгранно-выемчатой резьбой! (Это одно из названий геометрической резьбы,) Геометрическая резьба - один из самых древних видов резьбы по дереву, при которой изображаемые фигуры имеют геометрическую форму в различных комбинациях. Геометрическая резьба состоит из целого ряда элементов, образующих различные орнаментальные композиции. Квадраты, треугольники, трапеции, ромбы и прямоугольники – это арсенал геометрических элементов, которые дают возможность создавать оригинальные композиции с богатой игрой светотеней. Эту красоту я могла видеть с детства. Мой дедушка, Михаил Яковлевич Яковлев, работал учителем технологии в Ковалинской школе. По рассказам мамы, он вел кружки по резьбе. Сам занимался этим. У дочерей Михаила Яковлевича сохранились его работы. Шкатулка – подарок самой старшей внучке в день 16-летия. Коробка для игры в «Нарды» - старшему внуку. Имеются столы, зеркала, рамки для фотографий. В каждое изделие мастер старался внести частицу красоты. Прежде всего, большое внимание уделялось форме и пропорциям. Для каждого изделия древесина подбиралась с учетом ее физических и механических свойств. Если красивая текстура дерева сама по себе могла украсить изделия, то ее старались выявить и подчеркнуть. IV. Примеры из жизни Хочу привести ещё несколько примеров применения знаний о многоугольниках в нашей жизни. 1/При проведении тренингов: Многоугольники рисуют люди достаточно требовательные к себе и другим, добивающиеся в жизни успеха не только благодаря протекции, но и своим силам. Когда многоугольники имеют, пять, шесть и больше углов, и соединены с украшениями, то можно говорить, что их рисовал эмоциональный человек, иногда принимающий интуитивные решения. 2/Значения гадания на кофе: Если четырехугольника нет, это плохая примета, предупреждающая о грядущих бедах. Правильный четырехугольник- самый хороший знак. Ваша жизнь пройдет счастливо, и вы будете материально обеспечены, имеются прибыли. Подведите итоги вашей работы по листу контроля и выставите себе итоговую отметку. Четырехугольник - это пространство на ладони между линией головы и линией сердца. Его называют также стол руки. Если середина четырехугольника широка со стороны большого пальца и еще более широка со стороны сгиба ладони, это указывает на очень хорошую организацию и сложение, на правдивость, верность и вообще счастливую жизнь. 3/ Хиромантия - гадание по руке Фигура четырехугольника (она имеет и другое название - «стол руки») заключена между линиями сердца, ума, судьбы и Меркурия (печени). В случае слабой выраженности либо полного отсутствия последней ее функция выполняется линией Аполлона. Четырехугольник, который имеет большой размер, правильную форму, четкие границы и расширение в направлении холма Юпитера, свидетельствует о крепком здоровье и хорошем характере. Такие люди готовы пожертвовать собой ради других, открыты, нелицемерны, за что их и уважают окружающие. Если четырехугольник широкий, жизнь человека будет наполнена различными радостными событиями, у него будет много друзей. Чересчур скромные размеры четырехугольника либо кривизна сторон со всей очевидностью заявляют, что имеющий его человек - инфантильный, нерешительный, эгоистичный, его чувственность неразвита. Обилие мелких линий в рамках четырехугольника - свидетельство ограниченности ума. Если внутри фигуры виден крест, имеющий форму «х», это говорит об эксцентричном характере исследуемого и является плохим знаком. Крест, имеющий правильную форму, сообщает о том, что он склонен увлекаться мистицизмом. 1. Удивительный многоугольник Кроме теории ци, принципов инь и ян и Дао, в учении фэн-шуй существует еще одна фундаментальная концепция: «священный восьмиугольник», имеющий название ба-гуа. В переводе с китайского это слово означает «туловище дракона». Руководствуясь принципами ба-гуа, можно спланировать обстановку помещения с тем, чтобы в нем создавалась атмосфера, способствующая максимальному душевному комфорту и материальному благополучию. В Древнем Китае считалось, что восьмиугольник – символ достатка и счастья. Характеристика секторов ба-гуа. Карьера - север Цвет сектора – черный. Элементом, способствующим гармонизации, является Вода. Сектор связан напрямую с родом нашей деятельности, местом работы, реализацией рабочего потенциала, профессионализмом и заработком. Успех или неудача в этом плане напрямую зависит от благополучия в районе данного сектора. Знания – северо-восток Цвет сектора – синий. Элемент – Земля, но влияет довольно слабо. Сектор связан с умом, способностью к мышлению, духовностью, стремлением к самосовершенствованию, умением усваивать полученную информацию, памятью и жизненным опытом. Семья – восток Цвет сектора – зеленый. Элемент, способствующий гармонизации, - Дерево. Направление связано с семьей в самом широком понимании этого слова. Имеются в виду не только ваши домочадцы, но и все родственники, включая дальних. Богатство – юго-восток Цвет сектора – фиолетовый. Элемент – Дерево – влияет слабо. Направление связано с нашим финансовым состоянием, оно символизирует собой благополучие и процветание, материальный достаток и изобилие абсолютно во всех областях. Слава – юг Цвет – красный. Элемент, дающий данной сфере активизироваться, - Огонь. Этот сектор символизирует вашу известность и репутацию, мнение о вас близких и знакомых. Брак – юго-запад Цвет сектора – розовый. Элемент – Земля. Сектор связан с любимым человеком, символизирует ваши отношения с ним. Если на данный момент в вашей жизни такого человека нет, данный сектор представляет собой пустоту, ожидающую заполнения. Состояние направления подскажет вам, какие ваши шансы на скорую реализацию потенциала в сфере личных отношений. Дети – запад Цвет сектора – белый. Элемент – Металл, но влияет слабо. Символизирует собой вашу способность к воспроизводству в любой сфере как в физической, так и в духовной. Речь может идти о детях, творческом самовыражении, реализации различных планов, результат которых порадует вас и окружающих и станет служить вашей визитной карточкой в дальнейшем. Помимо прочего, сектор связан с вашим умением общаться, отражает вашу способность привлекать к себе людей. Полезные люди – северо-запад Цвет сектора – серый. Элемент – Металл. Направление символизирует людей, на которых вы можете положиться в трудных ситуациях, показывает наличие в вашей жизни тех, кто способен прийти на помощь, оказать поддержку, стать полезным для вас в той или иной сфере. Кроме того, сектор связан с путешествиями и мужской половиной вашего семейства. Здоровье – центр Цвет сектора – желтый. Конкретного элемента не имеет, связан со всеми элементами в целом, от каждого берет необходимую долю энергии. Область символизирует ваше душевное и духовное здоровье, связь и гармонию всех жизненных аспектов. 2. Число пи и правильные многоугольники. 14 марта этого года вот уже в двадцатый раз будет отмечаться День пи - неформальный праздник математиков, посвященный этому странному и загадочному числу. «Отцом» праздника стал Ларри Шоу (Larry Shaw), обративший внимание на то, что этот день (3.14 в американской системе записи дат) приходится кроме всего прочего на день рождения Эйнштейна. И, наверное, это самый подходящий момент для того, чтобы напомнить тем, кто далек от математики, о замечательных и странных свойствах этой математической константы. Интерес к значению числа π, выражающему отношение длины окружности к диаметру, появился еще в незапамятные времена. Известная формула длины окружности L = 2 π R одновременно является определением числа π. В глубокой древности считалось, что π = 3. Например, об этом упоминается в Библии. В эллинистическую эпоху считалось, что, и этим значением пользовались и Леонардо да Винчи, и Галилео Галилей. Однако оба приближения очень грубы. Геометрический рисунок, изображающий окружность, описанную около правильного шестиугольника и вписанную в квадрат, сразу дает простейшие оценки для π: 3 < π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.