Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Исследование функции на периодичность Нахождение периода суммы тригонометрических функций
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = -1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Основные понятия
Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.
Определение 2
Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:
Определение 3
Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:
T -- период функции.
Четность и нечетность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):
Рисунок 1.
Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.
Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:
Периодичность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).
Рисунок 2.
Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.
Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что
То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то
Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то
Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций
Пример 1
Доказать следующие утверждения:
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$
Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим
\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]
в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
удовлетворяющих системе неравенств:
б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетворяющих системе неравенств:
Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество.
§ 7. Простейшие формулы
В § 3 мы установили для острых углов α такую формулу:
sin2 α + cos2 α = 1. |
|||||||
Эта же формула |
в случае, |
||||||
когда α - любое |
самом де- |
||||||
ле, пусть M - точка на тригонометри- |
|||||||
ческой окружности, соответствующая |
|||||||
числу α (рис. 7.1 ). Тогда |
M имеет ко- |
||||||
ординаты x = cos α, y |
|||||||
нако всякая точка (x; y), лежащая на |
|||||||
окружности единичного радиуса с цен- |
|||||||
тром в начале координат, удовлетво- |
|||||||
ряет уравнению x2 + y2 |
1, откуда |
||||||
cos2 α + sin2 α = 1, что и требовалось. |
Итак, формула cos2 α + sin2 α = 1 вытекает из уравнения окружности. Может показаться, что тем самым для острых углов мы дали новое доказательство этой формулы (по сравнению с указанным в § 3, где мы пользовались теоремой Пифагора). Отличие, однако, чисто внешнее: при выводе уравнения окружности x2 + y2 = 1 используется та же теорема Пифагора.
Для острых углов м ы получали и другие формулы, напри-
ниманию символа, правая часть всегда неотрицательна, в то время как левая часть вполне может быть и отрицательной. Чтобы формула была верна при всех α, надо ее возвести в квадрат. Получится равенство: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Докажем, что эта формула верна при всех α:1
1/(1 + tg2 |
sin2 α |
cos2 α |
Cos2 α. |
||||
cos2 α |
sin2 α + cos2 α |
Задача 7.1. Выведите все формулы, приведенные ниже, из определений и формулы sin2 α + cos2 α = 1 (некоторые из них мы уже доказали):
sin2 α + cos2 α = 1; |
tg2 α = |
||||||||||||||||
tg2 α |
|||||||||||||||||
sin2 α = |
tg α · ctg α = 1; |
||||||||||||||||
cos2 α |
1 + tg2 α |
||||||||||||||||
ctg2 α |
|||||||||||||||||
Ctg2 |
cos2 α = |
||||||||||||||||
1 + ctg2 α |
|||||||||||||||||
sin2 |
Эти формулы позволяют, зная значение одной из тригонометрических функций данного числа, почти найти все осталь-
ные. Пусть, например, мы знаем, что sin x = 1/2. Тогда cos2 x =
1−sin2 x = 3/4, так что cos x равен или 3/2, или − 3/2. Чтобы узнать, какому именно из этих двух чисел равен cos x, нужна дополнительная информация.
Задача 7.2. Покажите на примерах, что оба вышеуказанных случая возможны.
Задача 7.3. а) Пусть tg x = −1. Найдите sin x. Сколько ответов у этой задачи?
б) Пусть в дополнение к условиям пункта а) нам известно, что sin x < 0. Сколько теперь ответов у задачи?
1 Для которых tg α определен, т. е. cos α 6= 0.
Задача 7.4. Пусть sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Найдите tg x.
Задача 7.5. Пусть tg x = 3, cos x > sin x. Найдите cos x, sin x.
Задача 7.6. Пусть tg x = 3/5. Найдите sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x
Задача 7.7. Докажите тождества:
tg α − sin α |
||||||||||||||
в) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α = |
||||||||||||||
Задача 7.8. Упростите выражения:
а) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; б) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;
в) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.
§ 8. Периоды тригонометрических функций
Числам x, x+2π, x−2π соответствует одна и та же точка на тригонометрической окружности (если пройти по тригонометрической окружности лишний круг, то придешь туда, где был). Отсюда вытекают такие тождества, о которых уже шла речь в § 5:
sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.
В связи с этими тождествами мы уже употребляли термин «период». Дадим теперь точные определения.
Определение. Число T 6= 0 называют периодом функции f, если для всех x верны равенства f(x − T) = f(x + T) = f(x) (подразумевается, что x + T и x − T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодической, если она имеет период (хотя бы один).
Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Об одном из таких процессов речь уже шла в § 5. Вот еще примеры:
1) Пусть ϕ = ϕ(t) - угол отклонения качающегося маятника часов от вертикали в момент t. Тогда ϕ - периодическая функция от t.
2) Напряжение («разность потенциалов», как сказал бы физик) между двумя гнездами розетки в сети переменного тока, ес-
ли его рассматривать как функцию от времени, является периодической функцией1 .
3) Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке - периодическая функция от времени.
Если функция имеет период T , то периодами этой функции будут и числа −T , 2T , −2T . . . - одним словом, все числа nT , где n - целое число, не равное нулю. В самом деле, проверим, например, что f(x + 2T) = f(x):
f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).
Определение. Наименьшим положительным периодом функции f называется - в соответствии с буквальным смыслом слов - такое положительное число T , что T - период f и ни одно положительное число, меньшее T , периодом f уже не является.
Периодическая функция не обязана иметь наименьший положительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет). Можно привести примеры и непостоянных периодических функций, не имеющих наименьшего положительного периода. Тем не менее в большинстве интересных случаев наименьший положительный период у периодических функций существует.
1 Когда говорят «напряжение в сети 220 вольт», имеют в виду его «среднеквадратичное значение», о котором мы будем говорить в § 21. Само же напряжение все время меняется.
Рис. 8.1. Период тангенса и котангенса.
В частности, наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2π. Докажем это, например, для функции y = sin x. Пусть вопреки тому, что мы утверждаем, у синуса есть такой период T , что 0 < T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.
Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1–3), называется просто периодом этих колебаний.
Поскольку число 2π является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2π - не наименьший период: наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса будет π. В самом деле, точки, соответствующие числам x и x + π на тригонометрической окружности, диаметрально противоположны: от точки x до точки x + 2π надо пройти расстояние π, в точности равное половине окружности. Теперь, если воспользоваться определением тангенса и котангенса с помощью осей тангенсов и котангенсов, равенства tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x станут очевидными (рис. 8.1 ). Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что π - действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса.
Одно замечание по поводу терминологии. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Так что если на экзамене у вас спросят: «Является ли 100π периодом функции синус?», не торопитесь с ответом, а уточните, имеется в виду наименьший положительный период или просто один из периодов.
Тригонометрические функции - типичный пример периодических функций: любую «не очень плохую» периодическую функцию можно в некотором смысле выразить через тригонометрические.
Задача 8.1. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
в) y = cos πx; |
||||
г) y = cos x + cos(1,01x).
Задача 8.2. Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени задается формулой U = U0 sin ωt (здесь t - время, U - напряжение, U0 и ω - постоянные величины). Частота переменного тока - 50 Герц (это означает, что напряжение совершает 50 колебаний в секунду).
а) Найдите ω, считая, что t измеряется в секундах;
б) Найдите (наименьший положительный) период U как функции от t.
Задача 8.3. а) Докажите, что наименьший положительный период косинуса равен 2π;
б) Докажите, что наименьший положительный период тангенса равен π.
Задача 8.4. Пусть наименьший положительный период функции f равен T . Докажите, что все остальные ее периоды имеют вид nT для некоторых целых чисел n.
Задача 8.5. Докажите, что следующие функции не являются периодическими.
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Свойства четности и периодичности
Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.
Свойства нечетности и периодичности
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат.
Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.
Периодичность тригонометрических функций
Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т!=0 (называемое периодом функции у=f (х)), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.
Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла
“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров
Ход урока
I. Организационный этап.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.
II. Проверка домашнего задания.
Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.
III. Обобщение и систематизация знаний.
1. Устная фронтальная работа.
Вопросы теории.
1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π
n)=tgx, n € Z
ctg(x+π
n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π
n)=sinx, n € Z
cos(x+2π
n)=cosx, n € Z
5) Как построить график периодической функции?
Устные упражнения.
1) Доказать следующие соотношения
a) sin(740º
) = sin(20º
)
b) cos(54º
)
= cos(-1026º)
c) sin(-1000º) =
sin(80º
)
2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)
3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)
4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?
Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.
6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.
Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.
7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?
Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.
IV. Коллективное решение задач.
(Решение задач на слайдах.)
Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.
При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.
Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}
Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.
1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}
Положим x=-0,25 получим
{T}=0 <=> T=n, n € Z
Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .
f(x+1) =3{x+1+0,25}+1
Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.
Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.
Задача 3. Найдите основной период функции
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Если х=0, то
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Если х=-Т, то
sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)
5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)
sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 |
Сложив, получим:
10cos(0,75Т)=10
2π n, n € Z
Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Значит – основной период функции f.
Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)
Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х
sin|x+Т|=sin|x|
Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Предположим. Что при некотором n число π n является периодом
рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|
Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.
Задача 5. Проверить, является ли периодической функция
f(x)=
Пусть Т – период f, тогда
, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом
Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому
Значит, функция f не периодическая.
Работа в группах.
Задания для группы 1.
Задания для группы 2.
Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Задания для группы 3.
По окончании работы группы презентуют свои решения.
VI. Подведение итогов урока.
Рефлексия.
Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.
VII. Домашнее задание
1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)
Литература/
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
- Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
- Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.