Найти основной период функции. Как найти период тригонометрической функции

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

Аргумента x, то она называется периодической, если есть число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.

Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Тригонометрические функции периодичны , то есть повторяются через определенный период. Вследствие этому довольно изучать функцию на этом интервале и распространить обнаруженные свойства на все остальные периоды.

1. Если вам дано примитивное выражение, в котором присутствует лишь одна тригонометрическая функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причем угол внутри функции не умножен на какое-нибудь число, а она сама не возведена в какую-нибудь степень – воспользуйтесь определением. Для выражений, содержащих sin, cos, sec, cosec отважно ставьте период 2П, а если в уравнении есть tg, ctg – то П. Скажем, для функции у=2 sinх+5 период будет равен 2П.

2. Если угол х под знаком тригонометрической функции умножен на какое-нибудь число, то, дабы обнаружить период данной функции, поделите типовой период на это число. Скажем, вам дана функция у= sin 5х. Типовой период для синуса – 2П, поделив его на 5, вы получите 2П/5 – это и есть желанный период данного выражения.

3. Дабы обнаружить период тригонометрической функции, возведенной в степень, оцените четность степени. Для четной степени уменьшите типовой период в два раза. Скажем, если вам дана функция у=3 cos^2х, то типовой период 2П уменьшится в 2 раза, таким образом, период будет равен П. Обратите внимание, функции tg, ctg в всякий степени периодичны П.

4. Если вам дано уравнение, содержащее произведение либо частное 2-х тригонометрических функций, вначале обнаружьте период для всей из них отдельно. После этого обнаружьте минимальное число, которое умещало бы в себе целое число обоих периодов. Скажем, дана функция у=tgx*cos5x. Для тангенса период П, для косинуса 5х – период 2П/5. Минимальное число, в которое дозволено уместить оба этих периода, это 2П, таким образом, желанный период – 2П.

5. Если вы затрудняетесь делать предложенным образом либо сомневаетесь в результате, попытайтесь делать по определению. Возьмите в качестве периода функции Т, он огромнее нуля. Подставьте в уравнение взамен х выражение (х+Т) и решите полученное равенство, как если бы Т было параметром либо числом. В итоге вы обнаружите значение тригонометрической функции и сумеете подобрать наименьший период. Скажем, в итоге облегчения у вас получилось тождество sin (Т/2)=0. Минимальное значение Т, при котором оно выполняется, равно 2П, это и будет результат задачи.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам обзора.

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно неведомой K, так, как словно x – константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 – то это и есть период вашей функции.Если K=0 – то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание!
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 – апериодическими.

Полезный совет
Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неведомого довода (для примера: 5sinx-3cosx =7). Дабы обучиться решать их – необходимо знать некоторые для этого способы.

1. Решение таких уравнения состоит из 2-х этапов.Первое – реформирование уравнения для приобретения его простейшего вида. Простейшими тригонометрическими уравнениями именуются такие: Sinx=a; Cosx=a и т.д.

2. Второе – это решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует основные способы решения уравнений такого вида:Решение алгебраическим способом. Данный способ классно знаменит из школы, с курса алгебры. По иному называют способом замены переменной и подстановки. Применяя формулы приведения, преобразуем, делаем замену, позже чего находим корни.

3. Разложение уравнения на множители. Вначале переносим все члены налево и раскладываем на множители.

4. Приведение уравнение к однородному. Однородными уравнениями называют уравнения, если все члены одной и той же степени и синус, косинус одного и того же угла.Дабы его решить, следует: вначале перенести все его члены из правой части в левую часть; перенести все всеобщие множители за скобки; приравнять множители и скобки нулю; приравненные скобки дают однородное уравнение меньшей степени, что следует поделить на cos (либо sin) в старшей степени; решить полученное алгебраическое уравнение касательно tan.

5. Дальнейший способ – переход к половинному углу. Скажем, решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.Переходим к половинному углу: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , позже чего все члены сводим в одну часть (отличнее в правую) и решаем уравнение.

6. Вступление вспомогательного угла. Когда мы заменяем целое значение cos(а) либо sin(а). Знак «а» – вспомогательный угол.

7. Способ реформирования произведения в сумму. Здесь нужно применять соответствующие формулы. Скажем дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.Решим ее, преобразовав левую часть в сумму, то есть:cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk ,x = p / 16 + pk / 8.

8. Конечный способ, называемый многофункциональной подстановкой. Мы преобразовываем выражение и делаем замену, скажем Cos(x/2)=u, позже чего решаем уравнение с параметром u. При приобретении итога переводим значение в обратное.

Видео по теме

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

1. Период – это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее знаменитыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса – π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тогда получите 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2π. Значит, T = π/10. Т – минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к вестимым.

Изыскание функции на четность и нечетность помогает строить график функции и постигать нрав ее поведения. Для этого изыскания нужно сравнить данную функцию, записанную для довода “х” и для довода “-х”.

1. Запишите функцию, изыскание над которой нужно провести, в виде y=y(x).

2. Замените довод функции на “-х”. Подставьте данный довод в функциональное выражение.

3. Упростите выражение.

4. Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для доводов “х” и “-х”. Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию невозможно сказать, что y(-x)=y(x) либо y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция всеобщего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.

5. Запишите сделанные вами итоги. Сейчас вы можете их применять в построении графика функции либо же в будущем аналитическом изыскании свойств функции.

6. Говорить о четности и нечетности функции дозволено также и в том случае, когда теснее задан график функции. Скажем, график послужил итогом физического эксперимента.Если график функции симметричен касательно оси ординат, то y(x) – четная функция.Если график функции симметричен касательно оси абсцисс, то x(y) – четная функция. x(y) – функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен касательно начала координат (0,0), то y(x) – нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).

7. Значимо помнить, что представление о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, скажем, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего невозможно сказать про функцию всеобщего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.

8. Изыскание функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции довольно разглядеть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Третье и четвертое тождества получает путем деления, соответственно, на b^2 и a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? либо 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?.Пятое и шестое основные тождества доказываются через определение суммы острых углов прямоугольного треугольника, которая равна 90° либо?/2.Больше трудные тригонометрические тождества : формулы сложения доводов, двойного и тройного угла, понижения степени, реформирования суммы либо произведения функций, а также формулы тригонометрической подстановки, а именно выражения основных тригонометрических функций через tg половинного угла:sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tg^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Надобность обнаружить минимальное значение математической функции представляет собой фактический интерес в решении прикладных задач, скажем, в экономике. Огромное значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.

1. Дабы обнаружить минимальное значение функции , необходимо определить, при каком значении довода x0 будет выполняться неравенство y(x0) ? y(x), где x ? x0. Как водится, эта задача решается на определенном промежутке либо во каждой области значений функции , если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение неподвижных точек.

2. Стационарной точкой именуется значение довода, при котором производная функции обращается в нуль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.

3. Минимальное значение функция зачастую принимает именно в этой точке, впрочем ее дозволено определить не неизменно. Больше того, не неизменно дозволено с точностью сказать, чему равен минимум функции либо он принимает беспредельно малое значение . Тогда, как водится, находят предел, к которому она тяготится при убывании.

4. Для того дабы определить минимальное значение функции , надобно исполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции , приобретение неподвижных точек, обзор значений функции в этих точках и на концах промежутка, обнаружение минимума.

5. Выходит, пускай задана некоторая функция y(x) на промежутке с границами в точках А и В. Обнаружьте область ее определения и узнаете, является ли промежуток ее подмножеством.

6. Вычислите производную функции . Приравняйте полученное выражение нулю и обнаружьте корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в промежуток. Если нет, то на дальнейшем этапе они не учитываются.

7. Разглядите промежуток на предмет типа границ: открытые, закрытые, составные либо безмерные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение . Скажем, отрезок [А, В] является закрытым промежутком. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите наименьший итог.

8. С открытыми и безмерными промежутками дело обстоит несколько труднее. Тут придется искать односторонние пределы, которые не неизменно дают однозначный итог. Скажем, для промежутка с одной закрытой и одной выколотой рубежом [А, В) следует обнаружить функцию при х = А и односторонний предел lim y при х? В-0.

>> Периодичность функций у = sin х, у = cos х

§ 11. Периодичность функций у = sin х, у = cos х

В предыдущих параграфах мы использовали семь свойств функций : область определения, четность или нечетность, монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность, область значений функции. Использовали мы эти свойства либо для того, чтобы построить график функции (так было, например, в § 9), либо для того, чтобы прочитать построенный график (так было, например, в § 10). Теперь настал благоприятный момент для введения еще одного (восьмого) свойства функций, которое прекрасно просматривается на построенных выше графиках функций у = sin х(см. рис. 37), у=соs х(см. рис. 41).

Определение. Функцию называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого х из множествах выполняется двойное равенство :

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции у = f(х).
Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы равенства:

то функции у = sin х, у=соs х являются периодическими и число 2п служит периодом и той, и другой функции.
Периодичность функции - это и есть обещанное восьмое свойство функций.

А теперь посмотрите на график функции у = sin х (рис. 37). Чтобы построить синусоиду, достаточно построить одну ее волну (на отрезке а затем сдвинуть эту волну по оси х на В итоге с помощью одной волны мы построим весь график.

Посмотрим с этой же точки зрения на график функции у =соs х (рис. 41). Видим, что и здесь для построения графика достаточно сначала построить одну волну (например, на отрезке

А затем сдвинуть ее по оси х на
Обобщая, делаем следующий вывoд.

Если функция у = f(х) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т (чаще всего берут промежуток с концами в точках а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, ЗТ и т.д.
У периодической функции бесконечно много периодов: если Т - период, то и 2Т - период, и ЗТ - период, и -Т - период; вообще периодом является любое число вида KТ, где к = ±1, ±2, ± 3... Обычно стараются, если это возможно, выделить наименьший положительный период, его называют основным периодом.
Итак, любое число вида 2пк, где к = ±1, ± 2, ± 3,является периодом функций у = sinп х, у=соs х; 2п- основной период и той, и другой функции.

Пример. Найти основной период функции:

а) Пусть Т - основной период функции у = sin х. Положим

Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество Но, поскольку речь идет об отыскании основного периода, получаем
б) Пусть Т - основной период функции у =соs 0,5х. Положим f(х)=соs 0,5х. Тогда f(х + Т)=соs 0,5(х + Т)=соs (0,5х + 0,5Т).

Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождество соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значит, 0,5т = 2пп. Но, поскольку речь идет об отыскании основного периода, получаем 0.5Т = 2 л, Т =4л.

Обобщением результатов, полученных в примере, является следующее утверждение: основной период функции

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс