Эмпирическая функция распределения f x обладает свойствами. Эмпирическая функция распределения, свойства

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Выборочная дисперсия.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику- выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то

Исправленная дисперсия.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

где - выборочные средние квадратические отклонения величин и .

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между и : чем ближе к единице, тем сильнее линейная связь между и .

23. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Эмпирическая функция распределения

где n x - число выборочных значений, меньших x ; n - объем выборки.

22Определим основные понятия математической статистики

. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – стати-стическим рядом :чайно отобранных из генеральной совокупности.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению .

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F* (x ), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x.

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку . Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h , а затем находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i -й интервал.

20. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел.

В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

19Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости,

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости,

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики

18Линейная регрессия является статистическим инструментом, используемым для прогнозирования будущих цен исходя из прошлых данных, и обычно применяется, чтобы определить, когда цены являются перегретыми. Используется метод наименьшего квадрата для построения «наиболее подходящей» прямой линии через ряд точек ценовых значений. Ценовыми точками, используемыми в качестве входных данных, может быть любое из следующих значений: открытие, закрытие, максимум, минимум,

17. двумерной случайной величиной называют упорядоченный набор из двух случайных величин или .

Пример.Подбрасываются два игральных кубика. – число очков, выпавших на первом и втором кубиках соответственно

Универсальный способ задания закона распределения двумерной случайной величины – это функция распределения.

15.м.о Дискретные случайные величины

Свойства:

1) M (C ) = C , C - постоянная;

2) M (CX ) = CM (X );

3) M (X 1 + X 2 ) = M (X 1 ) + M (X 2 ), где X 1 , X 2 - независимые случайные величины;

4) M (X 1 X 2 ) = M (X 1 )M (X 2 ).

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С, то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

14. Показательный (экспоненциальный ) закон распределения X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

13. Нормальный закон распределения характеризуется частотой отказов a (t) или плотностью вероятности отказов f (t) вида:

, (5.36)

где σ– среднеквадратическое отклонение СВ x ;

mx – математическое ожидание СВ x . Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением СВ Х .

x – случайная величина, за которую можно принять время, значение тока, значение электрического напряжения и других аргументов.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать mx и σ.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется при оценке надежности изделий, на которые воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на результирующий эффект

12. Равномерный закон распределения . Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a , b ], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Обозначение: .

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Случайная величина Х , распределенная по равномерному закону на отрезке называется случайным числом от 0 до 1. Она служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения. Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задача массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.

11. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией . Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

10. Плотность вероятности, плотность распределения вероятностей случайной величины x, - функция p(x) такая, что

и при любых a < b вероятность события a < x < b равна
.

Если p(x) непрерывна, то при достаточно малых ∆x вероятность неравенства x < X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

и, если F(x) дифференцируема, то

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n -- выборка объема п из генеральной совокупности с функцией распределения F (x ). Если расположить выборочные данные в порядке неубывания, то полученный ряд называется вариационным рядом: X (1) , X (2) , ..., X (n )

Пример 1. Если выборка объема 4 следующая: 4, -2, 3, 1, то вариационный ряд выглядит так: -2, 1, 3, 4.

Определение 1. Эмпирической называется функция распределения F (x ) дискретной случайной величины, у которой таблица распределения имеет следующий вид:

Как показано в 2.2.1 функция распределения дискретной случайной величины

имеет следующий вид:

Другими словами F n (x ) = v/n, где v --число тех выборочных значений X i , которые меньше х.

Как видно из графика, функция F n (x ) ступенчатая и имеет разрывы в точках X (i) и величина скачка равна 1/n , если совпадающих друг с другом значений X i , нет. Если же k значений X (i) совпадают, то величина скачка в этой точке равна k/n .

Представляет интерес предельное поведение F n (x ) при п .

Теорема 1. Пусть X 1 , X 2 , ..., X n -- выборка объема п из генеральной совокупности функцией распределения F (x ). Тогда при п со для любого х 1 справедливо

F n (x ) P F (x ),

или, другими словами, для любого > 0,

Доказательство. Пусть

такие дискретные случайные величины, что Р(i == 0) = q и P(i = 1) = р, i = 1. 2..... п. Легко видеть, что

Тогда по закону больших чисел (см. 2.7.2) для эмпирической функции распределения F n (x ) = 1/n n i=1 i при п получим

F n (x ) P F (x ),

Прежде чем сформулировать еще одну теорему, приведем следующее определение.

Определение 2. Последовательность случайных величин 1 , 2 , …, n , … сходится к с вероятностью 1 {единица) {или почти наверное), если выполняется следующее равенство

Теперь сформулируем (без доказательства, его можно найти в ) следующую теорему.

Теорема 2 (Гливенко - Кантелли). В условиях предыдущей теоремы справедливо

Эти результаты показывают, что при больших п эмпирическая функция распределения дает хорошее приближение для теоретической функции распределения F (x ).

Выборки объема п из генеральной совокупности с непрерывным распределением F (x ) на практике часто подвергаются группировке. В этом случае указываются не выборочные значения, а число выборочных значений, попавших в интервалы некоторого определенного разбиения генеральной совокупности (разбиения множества возможных значений случайной величины, имеющей функцию распределения F (x ) ). Как правило, интервалы берутся одинаковой длины, скажем h. Если обозначить через n i число выборочных значений, попавших в i - интервал, то этот интервал принимается за основание прямоугольника высоты n i /nh. Получающаяся при этом фигура называется гистограммой выборки. Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна частоте n i /n соответствующей группы. При больших п эта площадь будет приблизительно равна вероятности попасть в соответствующий интервал, т.е. будет приблизительно равна интегралу от плотности распределения р(t ), вычисленному по данному интервалу. Таким образом, верхняя часть контура гистограммы дает хорошее приближение для плотности распределения.

Пример 2. Испытывалась чувствительность 1-го канала п = 40 телевизоров. Данные испытаний указаны в следующей таблице, где в первой строке даны интервалы чувствительности в микровольтах, во второй - число телевизоров, чувствительность которых оказалась данном интервале:

Здесь длина интервала h = 50. Построим гистограмму.

Как известно, закон распределения случайной величины можно задавать различными способами. Дискретную случайную величину можно задать с помощью ряда распределения или интегральной функции, а непрерывную случайную величину – с помощью или интегральной, или дифференциальной функции. Рассмотрим выборочные аналоги этих двух функций.

Пусть имеется выборочная совокупность значений некоторой случайной величины объемаи каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его частость. Пусть далее,– некоторое действительное число, а– число выборочных значений случайной величины
, меньших.Тогда числоявляется частостью наблюдаемых в выборке значений величиныX , меньших , т.е. частостью появления события
. При измененииx в общем случае будет изменяться и величина . Это означает, что относительная частотаявляется функцией аргумента. А так как эта функция находится по выборочным данным, полученным в результате опытов, то ее называют выборочной илиэмпирической .

Определение 10.15. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию
, определяющую для каждого значенияx относительную частоту события
.

(10.19)

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (x ) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения . Различие между ними состоит в том, что теоретическая функция F (x ) определяет вероятность события
, а эмпирическая – относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует

,
(10.20)

т.е. при больших вероятность
и относительная частота события
, т.е.
мало отличаются одно от другого. Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Функция
и
обладают одинаковыми свойствами. Это вытекает из определения функции.

Свойства
:

Пример 10.4. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение: Найдем объем выборки n = 12+18+30=60. Наименьшая варианта
, следовательно,
при
. Значение
, а именно
наблюдалось 12 раз, следовательно:

=
при
.

Значение x < 10, а именно
и
наблюдались 12+18=30 раз, следовательно,
=
при
. При

.

Искомая эмпирическая функция распределения:

=

График
представлен на рис. 10.2

Р
ис. 10.2

Контрольные вопросы

1. Какие основные задачи решает математическая статистика? 2. Генеральная и выборочная совокупность? 3. Дайте определение объема выборки. 4. Какие выборки называются репрезентативными? 5. Ошибки репрезентативности. 6. Основные способы образования выборки. 7. Понятия частоты, относительной частоты. 8. Понятие статистического ряда. 9. Запишите формулу Стэрджеса. 10. Сформулируйте понятия размаха выборки, медианы и моды. 11. Полигон частот, гистограмма. 12. Понятие точечной оценки выборочной совокупности. 13. Смещенная и несмещенная точечная оценка. 14. Сформулируйте понятие выборочной средней. 15. Сформулируйте понятие выборочной дисперсии. 16. Сформулируйте понятие выборочного среднеквадратического отклонения. 17. Сформулируйте понятие выборочного коэффициента вариации. 18. Сформулируйте понятие выборочной средней геометрической.

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма.

Ряд распределения - представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

§ Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта - выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант , выраженное через частоты или частости:

Частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости () - это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:

§ Полигона

§ Гистограммы

§ Кумуляты

Полигон

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) - частоты или частости.

1. Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Рис.1. Распределение населения России по возрастным группам

Эмпирическая функция распределения, свойства.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X

При росте n относительная частота события X

Основные свойства

Пусть зафиксирован элементарный исход . Тогда является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующейфункцией вероятности:

где , а - количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .

Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

.

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

Случайная величина имеет биномиальное распределение:

Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения :

.

Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:

.

Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:

почти наверное при .

Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если , то

По распределению при .

Методы обработки ЭД опираются на базовые понятия теории вероятностей и математической статистики. К их числу относятся понятия генеральной совокупности, выборки, эмпирической функции распределения .

Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом. Такая совокупность состоит из бесконечного множества элементов. В результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра x 1 , x 2 , …, x n . С формальной точки зрения такие данные представляют собой выборку из генеральной совокупности .

Будем считать, что выборка содержит полные наработки до системных событий (цензурирование отсутствует). Наблюдаемые значения x i называют вариантами , а их количество – объемом выборки n . Для того чтобы по результатам наблюдения можно было делать какие-либо выводы, выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование выполняется, если объем выборки достаточно велик, а каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Пусть в полученной выборке значение x 1 параметра наблюдалось n 1 раз, значение x 2 – n 2 раз, значение x k – n k раз, n 1 +n 2 + … +n k =n .

Совокупность значений, записанных в порядке их возрастания, называют вариационным рядом , величины n i – частотами , а их отношения к объему выборки n i =n i /n – относительными частотами (частостями). Очевидно, что сумма относительных частот равна единице.

Под распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или частостями. Пусть n x – количество наблюдений, при которых случайные значения параметра Х меньше x. Частость события Xравна n x /n . Это отношение является функцией от x и от объема выборки: F n (x )=n x /n . Величина F n (x ) обладает всеми свойствами функции: