Будет ли бесконечность. Бесконечна ли бесконечность? Современные представления о бесконечности Вселенной

«То, что мы знаем, – ограниченно, а то, чего мы не знаем, – бесконечно»

Пьер-Симон Лаплас (1749-1827), французский ученый

Безграничная любовь, безмерное счастье, необъятный космос, вечная мерзлота, безбрежный океан и даже нескончаемый урок. В повседневной жизни мы часто называем вещи и явления бесконечными, но часто даже не задумываемся об истинном значении этого понятия. Между тем, с самых древних времён теологи, философы и другие величайшие умы человечества пытались понять её смысл. И только математики дальше всего продвинулись в знаниях о том, что называют бесконечностью.

Что такое бесконечность?

Многое из того, что мы видим вокруг себя, воспринимается нами как бесконечность, но на поверку оказываются вполне конечными вещами. Вот как иногда объясняют детям, насколько велика бесконечность: «Если на огромном пляже собирать по одной песчинке каждые сто лет, то чтобы собрать весь песок на пляже, понадобится вечность». Но на самом деле, количество песчинок не бесконечно. Физически их пересчитать невозможно, зато с уверенностью можно сказать, что их количество не превышает величины, равной отношению массы Земли к массе одной песчинки.

Или другой пример. Многие думают, если встать между двух зеркал, то отражение будет повторяться в обоих зеркалах, уходя вдаль, становясь все меньше и меньше, так что определить, где оно заканчивается, невозможно. Увы, это не бесконечность. Что происходит на самом деле? Ни одно зеркало не отражает 100% падающего на него света. Очень качественное зеркало способно отразить 99% света, но после 70 отражений из них останется только 50%, после 140 отражений – только 25% света и т. д., пока света не станет слишком мало. Вдобавок, большинство зеркал имеет искривления, поэтому многочисленные отражения, которые вы видите, в конце концов «скрываются за поворотом».

Давайте посмотрим, как математика трактует бесконечность. Это очень не похоже на те представления о бесконечности, с которыми вы сталкивались раньше и требует немного воображения.

Бесконечность в математике

В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность.

Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечнапотенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть всегда имеется потенциальная возможность её наращивания.

Понятие актуальнойбесконечности означает бесконечную величину, которая уже реально существует «здесь и сейчас». Поясним это на примере обычной ПРЯМОЙ.

Пример 1.

Потенциальная бесконечность означает, что есть прямая и её можно непрерывно продолжать (например, прикладывая к ней отрезки). Обратите внимание, здесь делается акцент не на то, что прямая бесконечна, а на то, что её можно бесконечно продолжать.

Актуальная бесконечность означает, что в настоящем времени уже существует вся бесконечная прямая. Но беда в том, что ни один живой человек не видел бесконечной прямой и физически не в состоянии это сделать! Одно дело – иметь возможность бесконечно продлевать прямую, и совсем другое – в реальности создать бесконечную прямую. Это очень тонкое различие и отличает потенциальную бесконечность от актуальной. Уф! Чтобы разобраться с этими бесконечностями, требуется большое воображение! Давайте рассмотрим ещё один пример.

Пример 2.

Предположим, вы решили построить ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

В какой-то момент вы дошли до очень большого числа n и считаете, что это самое большое число. В этот момент ваш друг говорит, что ему ничего не стоит к вашему числу n добавить 1 (единицу) и получить еще бóльшее число k = n + 1. Тогда вы, слегка уязвлённый, понимаете, что и вам ничего не может помешать добавить к числу k единицу и получить число k+1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у вас с другом может не хватить сил, времени на каком-то шаге m для того, чтобы сделать следующий шаг m + 1, но потенциально вы или кто-то другой может дальше строить этот ряд. В этом случае мы получаем понятие потенциальной бесконечности.

Если же вам с другом удастся построить бесконечный ряд натуральных чисел, элементы которого присутствуют все сразу, одновременно, это будет актуальной бесконечностью. Но дело в том, что никто не может записать все числа, – это неоспоримый факт!

Согласитесь, что потенциальная бесконечность для нас более понятна, потому что её легче вообразить. Поэтому античные философы и математики признавали только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуальной бесконечностью.

Парадокс Галилея

В 1638 году великий Галилей задался вопросом: «Бесконечно много – это всегда одинаково бесконечно много? Или могут быть бóльшие и мéньшие бесконечности?»

Он сформулировал постулат, который впоследствии получил название «Парадокс Галилея»: Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Суть парадокса заключается в следующем.

Некоторые числа являются точными квадратами(то есть квадратами других чисел), например: 1, 4, 9… Другие же числа не являются точными квадратами, например 2, 3, 5... Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Верно? Верно.

Но с другой стороны: для каждого числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Верно? Верно.

Рассуждения Галилея вступили в противоречие с неоспоримой аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей. Он не смог ответить, какая бесконечность больше – первая или вторая. Галилей полагал, что, либо он в чём-то ошибался, либо такие сравнения не применимы для бесконечностей. В последнем он был прав, поскольку три столетия спустя, Георг Кантор доказал, что «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».

Счётные бесконечности: часть равна целому

Георг Кантор (1845-1918), основоположник теории множеств, стал использовать в математике актуальную бесконечность. Он допускал, что бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции и даже сравнивать. Поскольку слова «число» и «количество» в случае с бесконечностями неуместны, он ввел термин «мощность». За эталон Кантор взял бесконечные натуральные числа, которых хватит для пересчёта чего угодно, назвал это множество счётным, а его мощность – мощностью счётного множества и стал сравнивать её с мощностями других множеств.

Он доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел! Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

На первый взгляд кажется очевидным, что в первом множестве чисел в два раза больше, чем во втором. Но, с другой стороны, ясно, что вторая последовательность тоже счётна, так как любому её числу ВСЕГДА соответствует строго одно число первой последовательности. И наоборот! Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. Следовательно, эти множества равномощны! Аналогично доказывается, что множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – счётно и равномощно множеству натуральных чисел. Отсюда следует, что все счётные бесконечности равномощны.

Получается очень интересно: Множество чётных чисел и множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) – являются частью множества натуральных чисел. Но при этом они равномощны. Следовательно, ЧАСТЬ РАВНА ЦЕЛОМУ!

Несчётные бесконечности

Но не всякую бесконечность можно пересчитать так, как это сделали мы с чётными числами и квадратами натуральных чисел. Оказывается, нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа (выражающиеся всеми конечными и бесконечными десятичными дробями), даже все действительные числа от 0 до 1. В математике говорят, что их количество несчётно.

Рассмотрим это на примере последовательности дробных чисел. Дробные числа обладают свойством, которое отсутствует у целых чисел. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 8 и 9 «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим к множеству целых чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 8 и 9. Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми двумя числами А и В:

Поскольку это действие можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел.

Таким образом, бесконечность действительных чисел является несчётной, а бесконечность натуральных чисел – счётной. Эти бесконечности неэквивалентны, но из несчётного множества действительных чисел всегда можно выделить счётную часть, например, натуральные или чётные числа. Поэтому несчётная бесконечность мощнее счётной бесконечности.

Прежде чем ответить на ваш вопрос, позвольте мне вначале прояснить, что я думаю, это путаница. В формальной математике $infty$ не является числом.Причина, по которой математики не рассматривают $infty$ как число, состоит в том, что если бы мы это сделали, мы бы сделали некоторые выводы, которые явно ошибочны.

Например, одно из номеров свойств состоит в том, что вы можете вычесть одно и то же число с обеих сторон уравнения, и уравнение будет по-прежнему истинным. Например, я могу вычесть $1$ с обеих сторон уравнения $x+1=4$ , чтобы получить $x=3$ . С другой стороны, если я обрабатываю $infty$ как регулярное число и вычитаю $infty$ с обеих сторон «уравнения» $infty + 1 = \infty$ , я получаю $1=0$ , что явно ложно.

Вместо этого математики думают о $infty$ как limit . Грубо говоря, это означает, что если вы хотите «подключить» $infty$ к функции, вы подключаете больше и больше цифр и смотрите, что произойдет в долгосрочной перспективе. Например, мы пишем $lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ to mean that "as you plug bigger and bigger numbers into the function $f (x) = 1/x$ , the function becomes arbitrarily close to zero." You should convince yourself that this particular limit is right. In some cases the limit is infinite; all this means is that, as you plug in bigger and bigger numbers into the function, the function becomes arbitrarily large. For example,

• $lim_{x to infty}x = infty$ .
• $lim_{x to infty}x^2 = infty$ .

To answer your question, pretty much anything can happen when $infty$ is involved. Let"s look at the two examples I just gave. Even though both functions $f (x) = x$ and $g (x) = x^2$ go to infinity as $x$ goes to infinity, the second one grows a lot faster. Case in point: $f (100) = 100$ and $g (100) = 10 , 000$ . In fact, $g (x)$ grows so much faster that the difference $g (x) - f (x)$ (remember that this is just $x^2-x$) also goes to infinity as $x$ goes to infinity. You can convince yourself of this by plugging in values. In symbols, $lim_{x\to\infty}(x^2 - x) = \infty.$ So informally speaking, it is possible that $infty- infty = infty$ !

If this result seems counter-intuitive to you, it is because you are thinking of the two infinities on the left hand side of the equation $infty- infty = infty$ as the same $infty$ : in fact, they are different. The first $infty$ comes from the function $g (x) = x^2$ , and in some sense it is bigger than the $infty$ from the function $f (x) = x$ since $x^2$ gets bigger a lot faster than $x$ does.

In any case, you can come up with other functions (that is to say, you can approach $infty$ at different speeds) that make the following statements true:

• $infty- infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
• $infty/ infty$ can equal anything between $- infty$ and $+ infty$ .
• $infty^0$ can equal anything between $0$ and $+ infty$ .

Finally, there can be cases where plugging in $infty$ doesn"t give you any answer at all. If you took trigonometry you"re probably familiar with the sine function, whose graph oscillates back and forth, like a wave, between $-1$ and $+ 1$ . (I tried to put a picture of the graph of sine here, but I couldn"t get it to work since I"m new to this site. Just search "graph of sine" on Google images and you"ll see what I mean.) If you plug in larger and larger numbers into $sin (x)$ , you won"t approach any fixed number. So $sin infty$ не существует .

В повседневной жизни человеку чаще всего приходится иметь дело с конечными величинами. Поэтому наглядно представить себе ничем не ограниченную бесконечность бывает очень сложно. Это понятие окутано ореолом таинственности и необычности, к которому примешивается благоговение перед Вселенной, границы которой определить практически невозможно.

Пространственная бесконечность мира принадлежит к наиболее сложным и спорным научным проблемам. Древние философы и астрономы пытались разрешить этот вопрос посредством самых простых логических построений. Для этого достаточно было допустить, что можно достичь предполагаемого края Вселенной. Но если в этот момент вытянуть руку, то граница отодвигается на какое-то расстояние. Эту операцию можно повторять бесчисленное количество раз, что доказывает бесконечность Вселенной.

Бесконечность Вселенной трудно себе представить, но не менее сложно , как мог бы выглядеть ограниченный мир. Даже у тех, кто не сильно продвинут в изучении космологии, в этом случае возникает естественный вопрос: а что находится за границей Вселенной? Впрочем, подобные рассуждения, построенные на здравом смысле и житейском опыте, не могут служить прочным основанием для строгих научных выводов.

Современные представления о бесконечности Вселенной

Современные ученые, исследуя множественные космологические парадоксы, пришли к выводу, что существование конечной Вселенной в принципе противоречит законам физики. Мир за пределами планеты Земля, по всей видимости, не имеет границ ни в пространстве, ни во времени. В этом смысле бесконечность предполагает, что ни количество заключенного во Вселенной вещества, ни ее геометрические размеры нельзя выразить даже самым большим числом («Эволюция Вселенной», И.Д. Новиков, 1983).

Даже если принять во внимание гипотезу о том, что Вселенная около 14 млрд лет назад образовалась в результате так называемого Большого взрыва, это вполне может означать лишь, что в те чрезвычайно отдаленные времена мир прошел через очередной этап закономерной трансформации. В целом же бесконечная Вселенная никогда не появлялась в ходе первоначального толчка или необъяснимого развития какого-то нематериального объекта. Предположение о бесконечной Вселенной ставит крест на гипотезе Божественного творения мира.

В 2014 году американские астрономы опубликовали результаты самых последних исследований, которые подтверждают гипотезу о существовании бесконечной и плоской Вселенной. С высокой точностью ученые измерили расстояние между галактиками, расположенными на расстоянии в несколько миллиардов световых лет друг от друга. Оказалось, что эти колоссальные по размерам космические звездные скопления расположены по кругам, имеющим постоянный радиус. Построенная исследователями космологическая модель косвенно доказывает, что Вселенная бесконечна как в пространстве, так и во времени.

Например, поверхность сферы. У нее есть конечная область, но двигаясь по ней, вы никогда не достигнете края.

Вопрос о том, конечна ли Вселенная или бесконечна, по-прежнему является загадкой современности, при этом существуют математические модели, учитывающие обе эти возможности. Встречаются ли какие-либо бесконечные объекты во Вселенной - этот вопрос также вызывает неподдельный интерес у ученых.

В апреле этого года философы, космологи и физики собрались в Кембриджском университете в рамках конференции по философии космологии, чтобы обсудить эту тему.

Бесконечность, которой нет

Люди изучали бесконечность и ее отношение к действительности в течение долгого времени.

Изучение бесконечности началось еще во времена Аристотеля. Он четко разделил два типа бесконечности. Один он назвал потенциальной бесконечностью , которая встречалась в его описаниях мира. К ней можно отнести списки, которые не имеют конца. Это, например, обычные числа: один, два, три, четыре, пять и так далее до бесконечности, которую нельзя достигнуть. В космологии существует много подобных бесконечностей. Так, у Вселенной, вероятно, бесконечный размер или бесконечный возраст, или она может просуществовать еще бесконечно долго. Это все потенциальные бесконечности, которые мы не можем доказать, мы просто говорим, что те или иные вещи безграничны

Большинство признает, что потенциальные бесконечности существуют, но никто не знает наверняка, действительно ли это так.

Когда вы смотрите на Вселенную, обзор строго ограничен, так как Вселенная существует в течение конечного промежутка времени, приблизительно 14 миллиардов лет. Свет движется с постоянной, постулированной ещё в 1905 году Альбертом Эйнштейном скоростью, таким образом, вы можете видеть на расстоянии не более 14 миллиардов световых лет. Нельзя увидеть бесконечность. Это очень похоже на то, как когда вы стоите на башне и смотрите вдаль, вы в состоянии увидеть все до горизонта, но не можете заглянуть за него. Но тут есть вариант сесть на самолет и полететь в другое место на планете. В случае со Вселенной масштаб таков, что мы не можем изменить точку обзора, мы застряли в одном месте и можем видеть Вселенную только с этой точки и на конечное расстояние.

Но даже эта граница в 14 миллиардов лет, на которую ссылается Эллис, скорее теория, чем реальные факты. Мы знаем, что в настоящее время Вселенная расширяется, и если мы в этом случае двигаемся назад, то в конечном итоге придем к точке во времени, Большому Взрыву, которую мы называем началом нашей Вселенной. Однако общепринятые физические теории, общая теория относительности Эйнштейна и квантовая физика, не учитывают этот момент. В настоящее время нет теории, описывающей этот случай, разве только масса «предполагаемых» теорий.

космолог, университет Кейптауна Некоторые из таких теории говорят, что начала никогда не было, другие утверждают, что было. Мы стараемся делать более или менее разумные предположения. Но мы не можем провести никаких экспериментов, доказывающих то или иное предположение, так как для этого нет достаточного количества энергии.

Момент Большого Взрыва находится за пределами досягаемости современных теорий, однако существует общепринятая модель, которая объясняет первые моменты после него. Например, космическая инфляция . Энтони Агирре из Калифорнийского университета в Санта-Крузе полагает, что она может рассказать нам что-то о расширении Вселенной.

Инфляция - это концепция, согласно которой, на ранней стадии Вселенная расширялась в геометрической прогрессии, удваиваясь в размере сотни раз в течение короткого периода времени. Эта теория наводит на массу догадок, многие из которых оказались верными, а некоторые могут быть проверены в ходе ближайших экспериментов. Это вселяет в нас веру в инфляцию, однако у нее также есть очень интересные побочные эффекты.

Один из таких побочных эффектов говорит о том, что инфляция, возможно, продолжилась различными темпами в различных областях Вселенной. В каком-то регионе быстрое удвоение в размере остановится через некоторое время, в итоге образовав обозримую Вселенную, как наша. В других регионах из-за пространственных изменений инфляция может длиться вечно.

физик, Калифорнийский университет в Санта-Крузе У нас есть бесконечное пространство-время, и не потому, что мы решили, что пространство-время бесконечно, а потому, что мы учитывали процесс, который естественно приводит к бесконечному пространству-времени.

Теория также предполагает, что расширение пространства и времени зависит от точки зрения. В соответствии с общей теорией относительности Альберта Эйнштейна время и пространство неразрывно связаны, отсюда термин пространство-время . Если вы хотите упомянуть пространство или время отдельно, необходимо разделить пространство-время математически.

физик, Калифорнийский университет в Санта-Крузе Оказывается, ответ на такой вопрос, как "является ли пространство конечным или бесконечным?" может зависеть от того, как вы определяете пространство и время по отдельности. Есть пространство-время, этому нас учит Эйнштейн. Мы можем разделить его на пространство и время различными способами. Они все действительны и дают одинаковые результаты во всех экспериментах, но в них вложен разный смысл, и для достижения определенных целей одни значения удобнее, чем другие.

Если у вас будет бесконечное пространство-время, в этом случае вы можете разбить его так, что Вселенная может получиться конечной и расширяющейся. Она может расширяться бесконечно долго и стать бесконечно большой, но конечной. Или это же самое пространство-время может быть разделено таким образом, что пространство будет бесконечным, выходит бесконечная, расширяющаяся Вселенная.

В инфляционной Вселенной в местах остановки инфляции происходит естественное его разделение, в этом случае Вселенная близка к однородности. Возникает Вселенная, которая пространственно бесконечна.

Инфляция дает начало гомогенным бесконечным вселенным, которые могут превратиться в нечто похожее на нашу. Здорово, что мы можем формировать предположения о такой богатой, многогранной и интересной действительности, в которой Вселенная бесконечна.

Фактическая бесконечность

Вопрос о том, является ли Вселенная бесконечной, касается одного типа бесконечности Аристотеля, потенциальной бесконечности, которую мы можем представить, но никогда не сможем увидеть. Но существует и другой тип бесконечности по Аристотелю, фактическая бесконечность .

В этом случае некий объект, который мы можем измерить, является бесконечным.

Такая фактическая бесконечность могла бы возникнуть в черной дыре, которая формируется, когда массивный объект, например, звезда, начинает разрушаться. Теоретически это приводит к бесконечной плотности массы в одной точке. Но существуют ли такие бесконечности во Вселенной?

"Черная дыра - необязательно твердый объект, это своего рода поверхность во Вселенной", объясняет Барроу, - "Если вы проникнете внутрь, то никогда не вернетесь назад, ведь для этого необходимо двигаться быстрее скорости света, иначе гравитация окажется сильнее. В черной дыре как будто разрушается гигантское облако, которое становится все плотнее и плотнее. В конечном счете, вокруг нее формируется поверхность, которую мы называем горизонтом. Если вы находитесь на горизонте очень большой черной дыры, которая, скажем, в миллиард раз больше Солнца, то у вас сложится ощущение, как будто вы в большой комнате, ничего странного. Но если вы попытаетесь выйти оттуда, то у вас ничего не выйдет. В самой же черной дыре все начинает двигаться к центру с неограниченной плотностью. Однако снаружи этого не видно. Эти эффекты изолированы, они не могут затронуть внешнюю Вселенную".

"Много лет назад Роджер Пенроуз сделал предположение, известное как космическая цензура. Оно гласит, что, если бы сингулярности или бесконечности должны были сформироваться во Вселенной, и ничто не могло бы их остановить, тогда они бы всегда находились в пределах горизонтов. Так называемых "голых" сингулярностей быть не может, таким образом, бесконечности, которые затрагивают нас на внешней стороне, быть не может. В отдельных случаях теория доказана, но она далека от общего доказательства. Это очень трудная математическая задача".

Другой тип бесконечности, который может существовать, называется, бесконечно маленькой или бесконечно делимой. При наличии суперточных линеек и карандашей, мы могли бы делить отрезок на кусочки, которые с каждым разом становятся все мельче?

Эллис думает, что эта идея нелепа. "Если вы держите пальцы на расстоянии в 10 см друг от друга и полагаете, что между ними есть реальная линия из точек, как в математике, тогда между вашими пальцами находится неисчислимая бесконечность точек. Это абсолютно неразумно. Я полагаю, что это чисто математическая идея, которая не соответствует физике.

Ричард Фейнман как-то сказал, что единственное, что он бы хотел оставить будущим поколениям, если бы ему пришлось оставить что-то одно, было бы заявление "Вещество сделано из атомов". Я думаю, что у нас есть серьезное основание полагать, что подобное заявление можно отнести и к пространству-времени, утверждая его дискретную природу. Между вашими пальцами находится очень большое количество физических точек, но оно конечно и исчисляемо".

Если пространство-время суть неделимые части, тогда должна быть и самая маленькая шкала расстояний, самая короткая длина. Физические теории действительно поддерживают эту идею, предполагая, что нет ничего короче, чем так называемая длина Планка. Она составляет примерно 10 -35 м (это число с 34 нулями после запятой). Современные методы не позволяют нам приблизиться к этому числу, даже в теории при наличии очень мощных приборов, мы никогда не смогли бы измерить что-либо меньшее, чем длина Планка.

Космический хот-дог

Эллис сделал важное разделение. С одной стороны, есть математическое понятие бесконечности (линия бесконечно делима), с другой физическое понятие, которое касается реальных количеств и явлений, которые могут или не могут существовать в природе. Но есть также третий тип бесконечности, вероятно, самый знакомый нам.

космолог, Кембриджский университет Мы можем выделить математические бесконечности, физические бесконечности и трансцендентные бесконечности, о которых говорили богословы или философы. С этой трансцендентной бесконечностью знаком, кажется, почти каждый на улице. Это, своего рода, космическое все. Как хот-дог в закусочной - один со всем.

Во многих религиях абсолютно все заключено в Боге или какой-либо космической силе. Это нечто другое, нежели то, с чем имеют дело физики и математики. Обратите внимание на историю идей в математике и физике, каждый может сделать одно из следующих заявлений: "я верю или не верю в математические бесконечности", "я верю или не верю в физические бесконечности" или "я верю или не верю в любой другой тип трансцендентной бесконечности".

Вы можете выбрать любую из предложенных точек зрения. И мнения действительно разделяются. Барроу и Агирре работают с математическими бесконечностями, но не пренебрегают и физическими.

"Я думаю, создание теорий, содержащих бесконечность, вполне естественно", говорит Агирре. "Да, мы конечные существа и можем осознать лишь конечную часть Вселенной, но я не вижу причин ограничивать всю Вселенную в принципе".

Эллис, с другой стороны, не считает, что физические бесконечности существуют, и указывает на потенциальные проблемы при использовании бесконечности в математических аргументах, имеющих отношение к физике. Он обращается к известному мысленному эксперименту математика Дэвида Гилберта - отель Гильберта, в котором бесконечное число комнат и проживает бесконечное количество гостей, таким образом, каждая комната занята. Когда прибывает новый постоялец, возможно ли его разместить? Разумеется, для этого необходимо попросить каждого гостя переместиться в следующую комнату, а нового посетителя разместить в первой. Это возможно поскольку n+1-я комната существует. А если придёт опять бесконечное количество гостей? Тоже просто - достаточно попросить каждого гостя из комнаты n переместиться в комнату n*2. Получается, что отель полон и неполон одновременно.

Из-за подобных парадоксов Эллис полагает, что мы должны быть очень осторожными, используя бесконечности в физическом контексте.

космолог, университет Кейптауна Я уточню. Зачастую, когда люди говорят о бесконечности, они в действительности имеют ввиду что-то в очень большом количестве. Бесконечность в данном случае используется просто в качестве кодового слова. В этом случае, я думаю, стоит избегать слова «бесконечность» и говорить именно о большом количестве. В других случаях люди используют бесконечность в ее глубоком, парадоксальном, смысле, как отель Гильберта, например. По моему мнению, если аргумент зависит от подобного парадоксального аргумента, то он ложный и его следует заменить другим.

Таким образом, ученые так и не пришли к единому мнению о том, существуют ли бесконечности в реальном мире или нет. Из-за отсутствия конкретных научных ответов имеет смысл обратиться к философам.

физик, Калифорнийский университет в Санта-Крузе Я думаю, что стоит объединить усилия физиков и философов. В этом случае физики будут упрекать философов в том, что они не знают науки и не представляют, о чем говорят. Философы же смотрят на физику с иной точки зрения, как на интеллектуальный фонд, по сравнению с практичными учеными. Я думаю, подобный обмен образами мышления был бы невероятно ценен.

Теория относительности рассматривает пространство и время как единое образование, так называемое «пространство — время», в котором временная координата играет столь же существенную роль, что и пространственные. Поэтому в самом общем случае мы, с точки зрения теории относительности, можем говорить только о конечности или бесконечности именно этого объединенного «пространства — времени». Но тогда мы вступаем в так называемый четырехмерный мир, обладающий совершенно особыми геометрическими свойствами, самым существенным образом отличающимися от геометрических свойств того трехмерного мира, в котором мы живем.

И бесконечность или конечность четырехмерного «пространства — времени» еще ничего или почти ничего не говорит об интересующей нас пространственной бесконечности Вселенной.

С другой стороны, четырехмерное «пространство — время» теории относительности — это не просто удобный математический аппарат. Оно отражает вполне определенные свойства, зависимости и закономерности реальной Вселенной. И поэтому при решении проблемы бесконечности пространства с точки зрения теории относительности мы вынуждены считаться и со свойствами «пространства — времени». Еще в двадцатых годах текущего столетия А. Фридман показал, что в рамках теории относительности раздельная постановка вопроса о пространственной и временной бесконечности Вселенной возможна не всегда, а только при определенных условиях. Этими условиями являются: однородность, т. е. равномерность распределения материи во Вселенной, и изотропность, т. е. одинаковость свойств по любым направлениям. Только в случае однородности и изотропности единое «пространство — время» расщепляется на «однородное пространство» и универсальное «мировое время».

Но, как мы уже отмечали, реальная Вселенная значительно сложнее однородных и изотропных моделей. А это значит, что четырехмерный мяр теории относительности, соответствующий тому реальному миру, в котором мы живем, в общем случае на «пространство» и «время» не расщепляется. Поэтому если даже с увеличением точности наблюдений мы сможем вычислить среднюю плотность (а значит, и местную кривизну) для нашей Галактики, для скопления галактик, для доступной наблюдениям области Вселенной, — это не будет еще решением вопроса о пространственной протяженности Вселенной в целом.

Интересно, между прочим, отметить, что некоторые области пространства и в самом деле могут оказаться конечными в смысле замкнутости. И не только пространство Метагалактики, но и любой области, в которой имеются достаточно мощные массы, вызывающие сильное искривление, например, пространство квазаров. Но, повторяем, это еще ничего не говорит о конечности или бесконечности Вселенной как целого. К тому же конечность или бесконечность пространства зависит не только от его кривизны, но и от некоторых других свойств.

Таким образом, при современном состоянии общей теории относительности и астрономических наблюдений мы не можем получить достаточно полного ответа па вопрос о пространственной бесконечности Вселенной.

Рассказывают, что знаменитый композитор и пианист Ф. Лист снабдил одно из своих фортепианных произведений такими указаниями для исполнителя: «быстро», «еще быстрее», «быстро, как только возможно», «еще быстрее»...

Эта история невольно приходит на память в связи с изучением вопроса о бесконечности Вселенной. Уже из того, что говорилось выше, совершенно очевидно, что эта проблема предельно сложна.

И все же она еще неизмеримо сложнее...

Объяснить, значит, свести к известному. Подобный прием используется почти в каждом научном исследовании. И когда мы пытаемся решить вопрос о геометрических свойствах Вселенной, мы тоже стремимся свести эти свойства к привычным понятиям.

Свойства Вселенной как бы «примериваются» к существующим в данный момент абстрактным математическим представлениям о бесконечности. Но являются ли эти представления достаточными для описания Вселенной в целом? Беда в том, что они разрабатывались в значительной степени самостоятельно, а иногда совершенно независимо от проблем изучения Вселенной, и уж во всяком случае на основе исследования ограниченной области пространства.

Таким образом, решение вопроса о реальной бесконечности Вселенной превращается, в своего рода лотерею, в которой вероятность выигрыша, т. е. случайного совпадения хотя бы достаточно большого числа свойств реальной Вселенной с одним из формально выведенных эталонов бесконечности, весьма незначительна.

Основу современных физических представлений о Вселенной составляет так называемая специальная теория относительности. Согласно этой теории пространственные и временные отношения между различными окружающими нас реальными объектами не являются абсолютными. Их характер целиком зависит от состояния движения данной системы. Так, в движущейся системе темп течения времени замедляется, а все масштабы длин, т.е. размеры протяженных объектов, сокращаются. И это сокращение тем сильнее, чем выше скорость движения. При приближении к скорости света, которая является максимально возможной скоростью в природе, все линейные масштабы уменьшаются неограниченно.

Но если хотя бы некоторые геометрические свойства пространства зависят от характера движения системы отсчета, т. е. являются относительными, мы вправе поставить вопрос: а не являются ли относительными также понятия конечности и бесконечности? Ведь они самым тесным образом связаны с геометрией.

В последние годы исследованием этой любопытной проблемы занимался известный советский космолог А. Л. Зельмапов. Ему удалось обнаружить факт, на первый взгляд совершенно поразительный. Оказалось, что пространство, которое конечно в неподвижной системе отсчета, в то же самое время может быть бесконечным относительно движущейся системы координат.

Быть может, этот вывод не будет казаться столь удивительным, если мы вспомним о сокращении масштабов в движущихся системах.

Популярное изложение сложных вопросов современной теоретической физики весьма затрудняется тем обстоятельством, что они в большинстве случаев не допускают наглядных объяснений и аналогий. Все же мы попытаемся привести сейчас одну аналогию, но пользуясь ею, постараемся не забывать, что она весьма приблизительна.

Представьте себе, что мимо Земли проносится космический корабль со скоростью, равной, скажем, двум третям скорости света —200 000 км/сек. Тогда, согласно формулам теории относительности, должно наблюдаться сокращение всех.масштабов вдвое. Значит, с точки зрения космонавтов, находящихся на корабле, все отрезки на Земле станут вдвое короче.

А теперь представим себе, что у нас имеется хотя и очень длинная, но все же конечная прямая линия, и мы измеряем ее с помощью некоторой единицы масштаба длины, например, метра. Для наблюдателя, находящегося в космическом корабле, несущемся со скоростью, приближающейся к скорости света, наш эталонный метр будет стягиваться в точку. А так как точек даже на конечной прямой располагается бесчисленное множество, то для наблюдателя в корабле наша прямая сделается бесконечно длинной. Примерно то же самое произойдет и в отношении масштабов площадей и объемов. Следовательно, конечные области пространства могут стать в движущейся системе отсчета бесконечными.

Еще раз повторяем — это отнюдь не доказательство, а лишь, довольно грубая и далеко не полная аналогия. Но она дает некоторое представление о физической сущности интересующего пас явления.

Вспомним теперь, что в движущихся системах не только сокращаются масштабы, по и замедляется течение времени. Из этого следует, что продолжительность существования некоторого объекта, конечная по отношению к неподвижной (статической) системе координат, может оказаться бесконечной Длительной в движущейся системе отсчета.

Таким образом, из работ Зельманова вытекает, что свойства «конечности» и «бесконечности» пространства и времени являются относительными.

Разумеется, все эти на первый взгляд довольно «экстравагантные» результаты нельзя рассматривать как установление неких всеобщих геометрических свойств реальной Вселенной.

Но благодаря им можно сделать чрезвычайно важный вывод. Даже с точки зрения теории относительности понятие бесконечности Вселенной значительно сложнее, чем это представлялось раньше.

Теперь есть все основания ожидать, что если когда-либо будет создана теория более общая, чем теория относительности, то в рамках этой теории вопрос о бесконечности Вселенной окажется еще более сложным.

Одним из основных положений современной физики, ее краеугольным камнем является требование так называемой инвариантности физических утверждений относительно преобразований системы отсчета.

Инвариантный—означает «не изменяющийся». Чтобы лучше представить себе, что это значит, приведем в качестве примера некоторые геометрические инварианты. Так окружности с центрами в начале системы прямоугольных координат являются инвариантами вращении. При любых поворотах координатных осей относительно начала такие окружности переходят сами в себя. Прямые линии, перпендикулярные к оси «OY», являются инвариантами преобразований переноса системы координат вдоль осп «ОХ».

Но в нашем случае речь идет об инвариантности в более широком смысле слова: любое утверждение только тогда имеет физический смысл, когда оно не зависит от выбора системы отсчета. При этом систему отсчета следует понимать не только как систему координат, но и как способ описания. Как бы ни менялся способ описания, физическое содержание изучаемых явлений должно оставаться неизменным, инвариантным.

Нетрудно заметить, что это условие имеет не только чисто физическое, по и принципиальное, философское значение. Оно отражает стремление науки к выяснению реального, истинного хода явлений, а исключению всех искажении, которые могут быть внесены в этот ход самим процессом научного исследования.

Как мы видели, из работ А. Л. Зельманова вытекает, что пи бесконечность в пространстве, ни бесконечность во времени требованию инвариантности не удовлетворяют. Это означает, что те понятия временной и пространственной бесконечности, которыми мы в настоящее время пользуемся, недостаточно полно отражают реальные свойства окружающего нас мира. Поэтому, видимо, сама постановка вопроса о бесконечности Вселенной в целом (в пространстве и во времени) при современном понимании бесконечности лишена физического смысла.

Мы получили еще одно убедительное свидетельство того, что «теоретические» понятия бесконечности, которыми пользовалась до сих пор наука о Вселенной, носят весьма и весьма ограниченный характер. Вообще говоря, об этом можно было догадываться и раньше, поскольку реальный мир всегда значительно сложнее любой «модели» и речь может идти лишь о более или менее точном приближении к реальности. Но в данной случае оцепить, так сказать, на глаз, насколько достигнутое приближение значительно, было особенно трудно.

Сейчас по крайней мере вырисовывается путь, которым надо идти. Видимо, задача заключается прежде всего в том, чтобы развивать само понятие бесконечности (математическое и физическое) па основе изучения реальных свойств Вселенной. Другими словами: «примеривать» не Вселенную к теоретическим представлениям о бесконечности, а наоборот, эти теоретические представления к реальному миру. Только такой метод исследования способен привести науку к существенным успехам в данной области. Никакие абстрактные логические рассуждения и теоретические выводы не могут заменить собой фактов, полученных из наблюдений.

Вероятно, необходимо прежде всего на основе изучения реальных свойств Вселенной выработать инвариантное понятие бесконечности.

Да и, вообще, видимо, не существует такого универсального математического или физического эталона бесконечности, который мог бы отобразить все свойства реальной Вселенной. По мере развития знаний число известных нам типов бесконечности само будет расти беспредельно. Поэтому скорее всего на вопрос о том, бесконечна ли Вселенная, никогда нельзя будет дать простой ответ «да» или «нет».

На первый взгляд может показаться, что в связи с этим изучение проблемы бесконечности Вселенной вообще теряет какой бы то ни было смысл. Однако, во-первых, эта проблема в той или иной форме встает перед наукой на определенных этапах и ее приходится решать, а во-вторых, попытки ее решения приводят к целому ряду попутных плодотворных открытий.

Наконец, необходимо подчеркнуть, что проблема бесконечности Вселенной значительно шире, чем просто вопрос о ее пространственной протяженности. Прежде всего, речь может идти не только о бесконечности «вширь», ко, если так можно выразиться, и «вглубь». Другими словами, необходимо получить ответ на вопрос о том, является ли пространство бесконечно делимым, непрерывным, или в нем существуют некоторые минимальные элементы.

В настоящее время эта проблема уже встала перед физиками. Всерьез обсуждается вопрос о возможности так называемого квантования пространства (а также и времени), т. е. выделения в нем некоторых «элементарных» ячеек, которые являются предельно малыми.

Нельзя также забывать о бесконечном разнообразии свойств Вселенной. Ведь Вселенная — это прежде всего процесс, .характерными особенностями которого являются непрерывное движение и непрестанные переходы материи из одного состояния в другое. Поэтому бесконечность Вселенной — это и бесконечное разнообразие форм движения, видов материи, физических процессов, взаимосвязей и взаимодействий и даже свойств конкретных объектов.

Существует ли бесконечность?

В связи с проблемой бесконечности Вселенной возникает на первый взгляд неожиданный вопрос. Имеет ли само понятие бесконечности реальный смысл? Не является ли оно всего лишь условным математическим построением, которому в реальном мире вообще ничто не соответствует? Подобной точки зрения придерживались некоторые исследователи в прошлом, есть у нее сторонники и в настоящее время.

Но данные науки свидетельствуют о том, что при изучении свойств реального мира мы во всяком случае сталкиваемся с тем, что можно назвать физической, или практической, бесконечностью. Например, мы встречаемся с настолько большими (или настолько малыми) величинами, что, с определенной точки зрения, они ничем не отличаются от бесконечности. Эти величины лежат за тем количественным пределом, за которым любые их дальнейшие изменения уже не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на существо рассматриваемого процесса.

Таким образом, бесконечность бесспорно существует объективно. Более того, как в физике, так и в математике мы сталкиваемся с понятием бесконечности чуть ли не на каждом шагу. Это не случайность. Обе эти науки, в особенности физика, несмотря па кажущуюся абстрактность многих положений, в конечном счете, всегда отталкивается от реальной действительности. Значит, природа, Вселенная в самом деле обладает некоторыми свойствами, которые отражаются в понятии бесконечности.

Совокупность этих свойств и может быть названа реальной бесконечностью Вселенной.