В какой зоне татарстан по проекции гаусса. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция гаусса-крюгера
Для всех топографических карт в нашей стране применяется проекция Гаусса-Крюгера. Проекция равноугольная, средний меридиан изображается прямой линией без искажений, экватор изображается прямой, перпендикулярной к среднему меридиану. Все остальные меридианы криволинейны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора.
Полоса отображения в проекции представляет собой шестиградусную или трехградусную зону эллипсоида.
Координатными осями для каждой зоны являются прямолинейный средний меридиан – ось абсцисс и прямолинейный экватор – ось ординат. Счет координатных зон при разбиении земного эллипсоида ведется с запада на восток. Долгота осевого меридиана первой зоны равна 3° (т.к. он посередине зоны, а отсчет этой зоны идет от Гринвичского меридиана). Номер зоны N и долгота осевого меридиана L° связаны равенством
L° = 6° N – 3°
Номер зоны N в проекции Гаусса-Крюгера отличается от номера колонны карты масштаба 1:1 000 000 на 30.
Например, если номенклатура листа карты N-45, то это значит, что лист расположен в 15 зоне проекции Гаусса-Крюгера и его осевой меридиан имеет долготу
L° = 6°х15-3° = 90°-3° = 87°
Для построения топографических карт России прибегают к многополосному изображению земного эллипсоида, когда на плоскость переносят зоны эллипсоида, протяженностью 6° (рис.2.20).
Каждая зона строится на отдельном касательном поперечном цилиндре так, что ось касания проходит по среднему меридиану зоны PP΄, называемому осевым (рис.2.21). У каждой зоны свой осевой меридиан.
Рис. 2.20. Схема многополосного изображения земного эллипсоида
При развертывании цилиндра в плоскость осевой меридиан изображается без искажения прямой PP΄ (рис.2.22) и его принимают за ось xx . Экватор EE΄ также изображается прямой, перпендикулярной к осевому меридиану. Он соответствует оси yy . Началом координат в каждой зоне служит точка О – пересечение осевого меридиана и экватора. Таким образом, положение любой точки определяется прямоугольными координатами x и y .
Рис. 2.21. Схема развертывания поверхности эллипсоида
с помощью цилиндра
Рис. 2.22. Результат развертывания цилиндра на плоскости
Разграфка и номенклатура листов топографических карт и планов
Классификация карт и планов по масштабу осуществляется следующим образом:
Лист топографической карты любого масштаба по размерам должен быть удобным как при его создании, печатании тиража, так и при пользовании им. С учетом этого установлено, что размер одного листа не должен быть больше 50см х 50 см. Но на одном таком листе изображается незначительный участок местности, поэтому карты на значительную (обширную) территорию являются многолистными.
Определение 2.9. Система разделения карты или плана на отдельные листы называется разграфкой карты (плана).
Определение 2.10. Обозначение отдельных листов многолистных топографических карт и планов в единой системе есть номенклатура .
Система разграфки и номенклатура листов карт и планов отдельных масштабов дают возможность определять географические координаты углов рамки любого листа топографической карты всего масштабного ряда, а также по географическим координатам точки находить номенклатуру листа карты любого масштаба, на котором эта точка находится, а также находить прямоугольные координаты. Лист карты масштаба 1: 1 000 000 получается разбиением параллелями через 4°, а меридианами – через 6°.
Географические координаты углов рамки листа карты масштаба 1: 1 000 000 по его номенклатуре определяют следующим образом.
Порядковый номер в виде буквы латинского алфавита, которая принимает конкретное значение – числа натурального ряда и которой обозначен ряд, умножают на 4° и получают географическую (геодезическую) широту северной параллели. Для колонн с номерами 31-60 (к востоку от Гринвича) номер колонн уменьшают на 30. Тогда формула для расчета географической (геодезической) долготы восточного меридиана (правого угла листа) будет выглядеть
6°=М°
Соответствие масштабов и номенклатуры листов приведено в табл.1.
Таблица 1. Масштабы и номенклатура листов карты
Последние две строки для планов местности с площадью S > 20 км 2 .
Пример . Пусть N = 14 – порядковый номер ряда, тогда
СШ = 14 х 4° = 56°; ЮШ = 56° – 4° = 52° (учли, что отсчет угла идет от плоскости экватора)
ВД = 6° = 42°
ЗД = 42° – 6° = 36°
Переход от листа карты масштаба 1: 1 000 000 к листам карт других масштабов осуществляется по простейшему алгоритму, приведенному на рис. 2.23.
1. Понятие о форме и размерах земли . Ге о графические коорд и наты
При решении ряда геодезических задач требуется знать форму и размеры Земли, которая не является правильным геометрическим телом. Ее физическая поверхность (и в особенности поверхность суши) очень сложная, ее невозможно выразить какой-либо математической формулой. Поэтому в геодезии введено понятие уровенной поверхности.
Урове н ной называют выпуклую поверхность, касательная к которой в любой точке перпендикулярна направлению отвесной линии. Следовательно, уровенную поверхность мысленно можно провести через любую точку на физической поверхности земли, под землей и над землей. Реально уровенную поверхность можно представить как водную поверхность пруда, озера, моря, океана в спокойном состоянии. Поверхность Мирового океана, мысленно продолженная под сушей, названа поверхн о стью геоида, а тело, ограниченное ею, - геоидом. Но и поверхность геоида из-за неравномерного размещения масс в теле Земли также очень сложная и не выражается какой-либо математической поверхностью, например поверхностью шара. Исследования формы Земли астрономо-геодезическими методами показали, что Земля сплюснута у полюсов (вследствие вращения Земли вокруг своей оси). Поэтому в качестве математической поверхности, характеризующей форму Земли, принимают поверхность такого эллипсоида вращения, т.е. тела, получающегося от вращения эллипса вокруг его малой (полярной) оси, который по форме в наибольшей мереблизко подходит к поверхности геоида. Размерами эллипсоида являются длины его большой а и малой b полуосей, а также сжатие, которое определяют по формуле: а = (а - b )/а.
На протяжении двух последних столетий ученые неоднократно определяли размеры земного эллипсоида.
При приближенных расчетах поверхность эллипсоида принимают за поверхность шара (равновеликого по объему земному эллипсоиду) с радиусом 6371,1 км, округляя это значение до 6370 км, а в некоторых случаях до 6400 км. Для небольших участков земной поверхности поверхность эллипсоида принимают за плоскость.
Положения точек земной поверхности на карте и плане определяют координатами. Наиболее часто пользуются географическими и прямоугольными координатами.
Геогр а фическими к о ординатами (рис. 1.17, а) являются широта и долгота точки. Ге о графическая (астрономическая) широта ф точки М - угол между направлением отвесной линии, проходящей через эту точку, и плоскостью экватора. Геогр а фическая (астрономическая) до л гота А, - двугранный угол, заключенный между плоскостью меридиана, проходящего через эту точку, и плоскостью начального меридиана.
Угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора, называют геод е зической ш и ротой, а двугранный угол, заключенный между плоскостями геодезического и начального меридианов, - геодезич е ской долг о той.
Широты бывают северные и южные, изменяются от 0 (на экваторе) до 90° (на земных полюсах). Долготы бывают восточные и западные, изменяются от 0 (на начальном - Гринвичском меридиане) до 180° (на тихоокеанской ветви Гринвичского меридиана). Линию, проходящую через точки с одинаковыми широта ми, называют п а раллелью, а с одинаковыми долготами - меридианом.
2 . По нятие о картографич е ских проекциях. Классиф и кация проекций. Равн о угольная поперечная ц и линдрическая проекция Г а усса
Чтобы изобразить земную поверхность на плоскости, вначале переходят от ее физической формы к математической, в качестве которой принимают поверхность эллипсоида вращения (сфероида) или шара, и только затем математическую поверхность Земли изображают на плоскости.
Так как без искажений поверхность шара (или эллипсоида) изобразить на плоскости невозможно, то строят условные изображения земной поверхности, основанные на некоторых заранее принятых математических зависимостях между координатами точек на шаре и их изображениями на плоскости. Такие способы условного изображения земной поверхности на плоскости называют картографическими проекциями.
Разработаны различные виды проекций по характеру искажений. В одних проекциях искажаются все элементы - горизонтальные углы, линии, но сохраняется отношение площадей. Такие проекции называют равновеликими (эквивалентными). В других не искажаются углы, вследствие чего сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Такие проекции называют равноугольными (конформными). Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята равноугольная проекция Гаусса-Крюгера.
Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 11.1, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной и 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.
Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21 o … Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:
Всего на территории б. СССР создано 29 шестиградусных зон с номерами от 4 по 32 и соответственно установлено 29 осевых меридианов со стандартными долготами 21, 27,…, 183, 189°.
Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон. Следовательно, долготы осевых меридианов трехградусных зон кратны трем.
Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис. 11. 1,6). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точки А и В имеют действительные ординаты: у А = +14 837,4 м, у в = -206368,7 м. Преобразованные ординаты будут на 7500000 м больше, т.е. у a = 7514 Х37,4 м, у в = 7293631,3 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.
3. Прямоугол ь ные координаты Гаусса. Процесс преобразова ния
Применяя проекцию Гаусса, всю земную поверхность делят меридианами на 6 и 3 зоны. Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны зависит от масштаба. Для крупных 3-х зоны (1:500,1:1000,1:2000,1:5000), для мелких 6-и зоны (1:50000, 1:100000). Спроектировав зону на поверхность цилиндра, а затем развернув его на плоскость получают изобр. зоны на плоскости. В проекции Гаусса в кажд. из зон примен. прямоугольная система координат. За ось абцис (х) принимают осевой меридиан, за ось ординат(у) - экватор. Для преобразования плоских прямо-х координат принято +500 км к исходн. координатам и добавлять номер зоны впереди.
4 . Ма сштаб изображения и искажения длин линий пр о екции Гаусса
Пр. Гаусса является равноугольной, т.к. в ней не икаж. горизонт. углы геометр. фигур земной поверхн. Длина линий измер. на плане или вычисл. по координатам точек всегда больше горизонт. проложений этих линий на местности, т.е.
S г =S+?S, ?S=(1+у 2 /2R 2),
где?S-поправка за редуцирование-вычисление длины линии на местности в проекции. ?S всегда +, при вычислении ее поправки ординату(у) берут для середины редуцируемого отрезка. Поправки за редуцирование линий вводятся в измеренные линии, когда значение измеренных линий велико и в качестве исходных используются точки гос. геод. сети. Под масштабом плана понимают отношение длины линии на плане к горизонт. проложению длин этих линий на местности m=S г /S. Масштаб во всех частях плана постоянен, но при изобр. больших террит. кривизна земли сказывается. Масштаб карты явл. велич. переменной. Он изм. при переходе из одной точки в другую>зависит от геогр. координат и азимута (m=f (B, L, ?)), где m-масштаб. На картах бывают масштабы: 1. Главный устанавливает общее изменение всех элементов земной поверхн. при переходе от поверхн. земн. эллипсоида или шара к карте. Во всех остальных частях карты масштабы > или < главного назыв. частные. Масштаб изобр. в пределах одн. и той же зоны различен и зависит от удаленности отрезка от осевого меридиана. Наибольшее искаж. получ. длины отрезков находящихся на краю 6 зоны, на широте экватора.
5. Искажение площадей в проекции Гаусса
В проекции Г. сохран. подобие бесконечно малых фигур. Из геометр. известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон
Р г /Р=S 2 г /S 2 , S г =S (1+y 2 /2R 2), P г /Р=S 2 (1+y 2 /2R 2)/S 2 , P г =Р (1+у 2/ /R 2 +y 4 /4R 4).
Из-за малости у 4 /4R 4 отбрасывают.
Р г =Р (1+у 2 /2R 2), P г =Р+?Р, ?Р=Ру 2 /R 2 .
Р - поправка в площади в поверхности шара на плоскость поверхности Гаусса. Для упрощения выводов земная поверхн. приним. за поверхн. шара
6. Номенклатура листов т о пограф. карт мелких, ср., кр. масштабов
Для удобства пользования топограф. картами их обознач. введя опр. систему. В основу деления положены сферические трапеции получаемые на поверхн. сфероида при делении его меридианами через 6 на 60 зон. Зоны № арабским цифрами с запада на восток, начиная от меридиана долготой 180°. Колоны делятся на ряды через 4°, ряды обознач. заглавн. букв. латинского алфавита, от экватора до севера, от А до З. Проведенные таким образом меридианы служат рамками листов карт масштабом 1:1000000 размерами по широте 4 и 6. В основу номенклатуры карт крупных масштабов положена трапеция масштаба 1:1000000, средних - 1:100000.
7. Вычисл. координ. ве р шин тр апеции м. 1:10000 в пр. Гаусса
Сначала по специальным таблицам находят координаты и сближение меридианов углов рамки трапеции 1:25000, в которую входит трапеция м. 1:10000. Выбор данных производится по широте В и отклонению угла рамки от осевого меридиана l=L-L 0 . Найденные значения выписываются на схему. Затем вычисляют прям. координ. и сближ. меридианов для углов рамки трап. м. 1:10000 линейным интерполированием м/у соответствующими значениями для улов рамки трап. м. 1:25000. Результаты выпис. на схему. В абциссы углов, полученных при интерполировании, вводят поправку, которую берут из таблицы. Поправка вводится с -, т.к. параллели в пр. Г. изобр. дугами. Попр. водят в точки, расп. на среднем меридиане трап. м. 1:25000. Найденные знач. для трап. м. 1:10000, предварительно + к ординатам 500 км и указав впереди № зоны.
9. Определ. дирекционного угла и длины л и нии между двумя точками на топ о граф. карте графич. и гр а фоаналитич. методом
Для определ. дир. угла по графич. координатам вычисл. румб линии, к пр. АВ, по ф.
r AB =arctg?y AB /?x AB .
Затем по румбу находят дир. угол? АВ. Для этого выч. гориз. пролож. S AB по ф.
S АВ =?x AB /cosr AB , S AB =?y AB /sinr AB , S AB =v?x AB 2 +?y AB 2 .
Для опр. дир. угла. по графич. методу нужно изм. дир. угол с помощью геодезич. транспортира. Горизонт. пролож. измерть с помощью циркуля и масшт. линейки. Расхождения между полученными значениями 2 способами на должны превышать в дир. угле 20", в гор. прол. - 4 м.
10. Сущность и виды геод. изм.
Изм. к-л величин. значит сравнить ее с другой однородной ей велич., принятой за 1-цу меры. В результате изм. находится число = отношению измеряемой величины к 1 меры, его назыв. результатом изм. Изм.: прямые - когда определяемую величину получают из непосредственного сравнения с эталоном; косвенные - знач. величины получают вычислением по другим уже изм. велич. Всякое изм. предусматривает наличие 5 факторов: объекта изм., человека, инструмента изм., метода изм., внешней среды. Изм проводимые в одинаковых условиях при котор. результ. можно считать одинаково достоверными - равноточные, изм. проводимые в неодинаковых условиях котор. отдельные изм. оказываются недостоверными назыв. неравноточными.
11. Классиф. ошибок изм. Св-ва случ. ошибок изм.
Отклонение результата изм. от его точного изм. назыв. ошибкой изм. ?=l-x, ?-ошибка, l-результат изм., х-точное знач. Классиф.: По характеру действия: грубые - величина которых совершенно недопустима при данных условиях изм.; систематические - при повторных изм. либо остаются без измен., либо измен. по к-л определенному закону, могут быть: постоянно, переменно, односторонне действующие; случайные - ошибки в последовательности появления которых нет никакой закономерности. По источнику происхождения: инструментальные, внешние, личные. Св-ва случ. ошибок: Ошибки по абсолютной величине не превосходят некоторого предела. Число + и - ошибок равных по абсолютной величине встречается одинаково часто. 3Чем меньше по абсолют. велич. ошибка тем она чаще встреч. и наобор. 4Чем больше число ошибок, те больш. среднеарифметическое из них стремится к 0.
12. Сред., вероят., СКО и предельн. ошибки изм., связь м/у ними. Виды распр ошибок, Абсолют. и отн о сит. ошибки изм.
Средняя ош. получена как среднеарифм. знач. из истинных ош. Ее получ. по абсолютным знач. ош.
Среднеарифм., n-число изм. Вероятная ош.-такое знач. случ. ош. при данных условиях по отношению к которой ош. <и>по абсолют. велич. встречаются одинаково часто r=2/3m. СКО как мера точности изм. усиливает возвед. в квадр. знач. больших по абсолютной величине ош., что проектир. правильность суждения о надежности m=v[? 2 ]/n. При неогр. числе изм. знач. СКО будет приближенным > вычисл. СКО самой ош. и назыв. ее надежностью изм. m ml =m l /v2n. Зная СКО установить предельную ош., абсолют. знач. которой счит. верхней границей допустимых при данных условиях изм. размеров ош. ? пр =ґ m , где ґ=2; 2,5; 3. Преимущество СКО: Учитывают влияние больших по величине ошибок. СКО определенная из небольшого числа изм. мало отлич от СКО большого числа таких же изм. Истинная, средняя, вероятная, СКО ош. назыв. абсолютными в тех случаях когда на точность изм. влияет размер определяемой величины, то оценка точности по абсолют. ош. становится недостаточной. Во всех таких случаях для точности применяют понятие относит. ош. - отвлеченное число выраж. отнош. абсолют. ош. измерения к его результату.
13. Матем. обраб. равн о точн. изм. Арифм. сре д нее, СКО арифмет. середи ны
Имеется ряд равноточ. изм. l 1 , l 2 …, l n . За окончательное знач. изм. величины приним. среднее знач или L=(l 1 +l 2 + … +l n)/n=[l]/n. Ряд случ. ош.
1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,….,? n =l n -x,
где х-точное знач. изм. величины. Сложим все и получ. [?]=[l] - nx. x=[l]/n - [?]/n. При бесконечном числе изм. среднее арифм. знач. их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l 1 , l 2 …l n) поэтому его назыв. вероятнейшим знач. измеренной величины.
L=[l]/n, L=l 0 +[E]/n,
l 0 -наименьшее из всех результатов изм., Е-разница м/у каждым наименьшим и результатом изм. Е=l 1 -l 0 . Если возмем - м/у средним арифм. и каждым результатом изм. то получим v 1 =l 1 -L, v 2 =l 2 -L,…., v n =l n -L. Сложим все и получ.
[v]=[l] - [l]/n*n.
Величину v назыв. уклонением от вероятнейшего знач. или вероятнейшими ош. СКО арифм. середины, если х-точное значение определ. велич., L-арифметич. середина, М-ош. вероятн. знач. М=L-x.
8. Способы получ. размеров по меридиану и пара л лели литсов топограф. карт ме л ких и ср. м. в мере
Разграфка листов крупномасштабн. планов произв. сл. способом: для съемки и составл. планов свыше 20 км2 за основу разграфки принимают лист карты 1:1000000, а в случае прямоугольной разграфки 1:5000.
1:1000000-4-6°, 1:500000-2-3°, 1:300000-1°20-2°, 1:200000-40"-1° 1:100000-20"-30", 1:50000-10"-15", 1:25000-5"-7"30», 1:10000-2"30»-3"45».
16. Оценка точности рез. равноточ. изм. по 2 - х изм. Ф., порядок вы числ.
На пактике часто произв. 2-ые равноточные изм. Изм. некот. однородн. велич. и получ. результатыl 1 " , l 2 " …l n " и l » 1 , l 2 » …l n » , d=l i " -l i » . При абсолютно точных знач. - этих велич. должны быть =0. Но этого не происх. т. к. влияют ош. можно их вычисл. по ф. Г. m d =+-v/n. Ош 1-го изм. m l =v[d] 2 /2n, вероятнейшего измерения. m l =0.5v/n, предельное изм. ? пр =3m. Эти ф. справедливы когда отсутств. систем. ош. Если есть систем. ош. то ее нужно опред. и искл. Если бы не было случ. ош. тогда знач. систематич. ош. можно получить применяя ф. арифм. середнего. Q=d, Q=[d]/n. Искл. знач. ош. из - получим остаточные разности i =d i -Q.
17. СКО арифметической середины . Вывод ф.
M=L-x. Для вывода этой формулы примем? 1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,…,? n =l n -x. Сложим и разделим все и получим [?]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат
М 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2 +2? 1 ? 2 +2? 1 ? 3 + … +2? 1 ? n +2? 2 ? 3 +2? 2 ? 4 + … +2? 2 ? n + … +2? n -1 ? n)/n 2 .
Т.к. в этой ф. на основании св-ва случ. ош. удвоенные произв. могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет >0, поэтому отбросив их получим приближен. равенство.
M 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2)/n 2 =[? 2 ]/n 2 .
М=m l /vn, M L =m l /vn-СКО вероятнейшего знач. Следовательно СКО арифм. серед. равноточ. изм. одной и той же велич. vn меньше СКО отдельного изм. > вероятн. знач. будет в наибольшей мереточным по сравнению с каждым результатом изм.
18. СКО ф-и общего вида: U = f (X 1 , X 2 ,… , X n ). Вывод ф.
U=f(X 1 , X 2 ,…, X n),
где X 1 , X 2 , X n непосредственно изм. велич. содерж. ош. ?х 1 , ?х 2 , ?х n . Если меняются знач. аргументов ф-и на велич. ош., то меняется и сама ф-я
U+?U=f(x 1 +?х 1 , х 2 +?х 2 , х n +?х n).
19. СКО ф-и вида U = K X (K - const ).Вывод ф.
U=KX, где K-const, х - непоср. изм. велич. Если х изм. ошибочно, то и ф-ия будет иметь ош. U+?U=K (x+?x), где?U-случ. ош. Произведем вычисл. и получ. ?U=K?x
m U =m x v?K i 2 .
20. СКО ф-й вида U = X + Y . Вывод ф.
U=X+Y(1), где х, у - независим. велич., получ. в результате неоднократных изм. величин. Если изм. велич. были определены со случ. ош., то и сумма их будет содерж. ош.
U+?U=(x+?x)+(y+?y) (2).
Вычтем из (2) (1) ?U=?x+?y. При многократных непостедств. изм. каждой велич. получ. многочлен
U 1 =?x 1 +?y 1 ,?U 2 =?x 2 +?y 2 ,….,?U n =?x n +?y n .
Возведем в квадрат и сложим почленно [?U 2 ]=[?x 2 ]+[?y 2 ]+2 [?x?y]. Отбросим последнее знач. т.к. оно обладает всеми св-ми случ. ош. и при увелич. числа изм. стремится к 0.
[?U 2 ]=/n+/n, m 2 U =m x 2 +m y 2 .
СКО суммы двух изм. велич. равна сумме квадратов отдельных аргументов.
m=m x =m y , m U = +-mv2, m U =vm x 2 +m y 2 .
Описание проекции
Проекция Гаусса-Крюгера применяется для вычисления плоских прямоугольных координат x и y из геодезических координат B и L поверхности референц-эллипсоида. На территории Российской Федерации в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского.
Проекция Гаусса-Крюгера является равноугольной поперечной циллиндрической проекцией Меркатора на касательный цилиндр. Для проецирования используется 3-х и 6-ти градусные зоны референц-эллипсоида вдоль осевого (центрального) меридиана. Для топографических карт в основном используются проекции 6-ти градусных зон.
Зона - участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами. Проекция Гаусса-Крюгера делит поверхность референц-эллипсоида на 60 зон шириной 6 градусов. Нумерация зон производится на восток от нулевого меридиана от 1 до 60. Зона 1 простирается от меридиана 0° до меридиана 6° с центральным меридианом 3°.
Долгота осевого меридиана зоны вычисляется по формуле:
где N - номер зоны.
Координаты
Для расчета координат используется прямоугольная километровая сетка. За ось OX принимается изображение осевого меридиана зоны с положительным направлением на север. За ось OY принимается изображение экватора с положительным направлением на восток. В каждой шестиградусной зоне применяется собственная система координат.
Для того чтобы все координаты были положительными, применяется восточное смещение, равное 500 000 м.
Для определения к какой зоне относятся значения координат, к численному значению координаты Y слева приписывается номер зоны.
Параметры проекции
Поперечная проекция Меркатора описывается следующим набором параметров:
b0 - широта начала координат проекции (равна 0);
l0 - долгота начала координат проекции;
y0 - смещение начала координат проекции вдоль меридиана;
x0 - смещение начала координат проекции вдоль параллели;
k0 - масштабный коэффициент в начале координат проекции.
Для проекции Гаусса-Крюгера соответствующие параметры принимают следующие значения:
l0 = долгота осевого меридиана (6 * N - 3, где N - номер зоны);
x0 = 500000 (восточное смещение);
k0 = 1 (для проекции на касательный цилиндр).
Необходимо обратить внимание, что для описания проекции применяются следующие направления осей прямоугольной системы координат: OX - по экватору на восток, OY - по меридиану на север.
Общеземные системы координат
Общеземная координатная система
Для описания всей земной поверхности применяется общеземной эллипсоид, поверхность которого наиболее близка к геоиду. Центр общеземного эллипсоида размещается в начале координат глобальной пространственной прямоугольной (геоцентрической) системы координат. Совокупность параметров общеземного эллипсоида и параметров ориентации общеземного эллипсоида в пространственной прямоугольной системе координат определяют общеземную координатную систему.
Наиболее широкое использование получила общеземная координатная система WGS84 с эллипсоидом WGS84 (World Goodetic System 1984). На территории Российской Федерации применяется общеземная координатная система ПЗ-90 (Параметры Земли 1990).
Параметры ориентации эллипсоида
Существуют различные способы ориентации эллипсоида в глобальной пространственной прямоугольной (геоцентрической) системе координат, в том числе 7-параметровый Гельмерта или, как указано в зарубежных источниках, Бурса-Вольфа.
7 параметров ориентации представляют собой:
dX, dY, dZ - линейные элементы взаимного ориентирования (м);
Rx, Ry, Rz - угловые элементы взаимного ориентирования (рад);
dS - масштабный элемент.
Мировая геодезическая система
В связи с широтой распространения за основу при расчете координат принята Мировая геодезическая система WGS84. Пересчет координат из одной системы координат в другую производится с использованием параметров ориентации относительно WGS84.
Параметры ориентации WGS84, соответственно:
dX = 0 м; dY = 0 м; dZ = 0 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
Параметры Земли ПЗ-90
В соответствии с ГОСТ 32453-2013 (взамен отмененному ГОСТ Р 51794-2008) применяются две геоцентрические системы координат ПЗ-90 и ПЗ-90.02.
Параметры ориентации относительно WGS84:
dX = -1,10 м; dY = -0,30 м; dZ = -0,90 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,20″; dS = -0,12 * 10 -6 ;
dX = -0,36 м; dY = 0,08 м; dZ = 0,18 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
Референсные системы координат
Для максимально точного описания определенной территории земной поверхности применяются локальные или референц-эллипсоиды, оптимально ориентированные для выбранной территории.
На территории Российской Федерации в качестве референц-эллипсоида используется эллипсоид Красовского. Для вычисления геодезических координат на основе эллипсоида Красовского применяются геодезические системы координат 1942 года (СК-42) и 1995 года (СК-95).
В соответствии с ГОСТ 32453-2013 параметры ориентации референц-эллипсоида устанавливаются относительно геоцентрических систем координат ПЗ-90 и ПЗ-90.02.
СК-42 => ПЗ-90:
dX = 25 м; dY = -141 м; dZ = -80 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,66″; dS = 0.
СК-95 => ПЗ-90:
dX = 25,90 м; dY = -130,94 м; dZ = -81,76 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = 0″; dS = 0.
СК-42 => ПЗ-90.02:
dX = 23,93 м; dY = -141,03 м; dZ = -79,98 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,79″; dS = -0,22 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90.02:
dX = 24,83 м; dY = -130,97 м; dZ = -81,74 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,13″; dS = -0,22 * 10 -6 .
Для определения параметров ориентации референц-эллипсоида относительно WGS84 необходимо попарно суммировать параметры ориентации референсных систем координат (СК-42, СК-95) и геоцентрических (ПЗ-90, ПЗ-90.02).
СК-42 => ПЗ-90 => WGS84:
dX = 23,90 м; dY = -141,30 м; dZ = -80,90 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,86″; dS = -0,12 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90 => WGS84:
dX = 24,80 м; dY = -131,24 м; dZ = -82,66 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,20″; dS = -0,12 * 10 -6 .
СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS84:
dX = 23,57 м; dY = -140,95 м; dZ = -79,80 м; Rx = 0″; Ry = -0,35″; Rz = -0,79″; dS = -0,22 * 10 -6 .
СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS84:
dX = 24,47 м; dY = -130,89 м; dZ = -81,56 м; Rx = 0″; Ry = 0″; Rz = -0,13″; dS = -0,22 * 10 -6 .
Методы определения параметров ориентации
Существует два метода определения параметров ориентации эллипсоида относительно пространственной прямоугольной (геоцентрической) системы координат:
Преобразованием радиус-вектора (EPSG:9606);
Поворотом системы координат (EPSG:9607) (значения поворота положительны при вращении против часовой стрелки).
Оба метода отличаются между собой знаками угловых элементов взаимного ориентирования Rx, Ry, Rz.
В ГОСТ 32453-2013 указаны параметры ориентации, соответствующие методу с поворотом системы координат.
Также этому методу соответствует описание параметров датума с использованием WKT-строки. Данное утверждение основано только на личных наблюдениях, но документального подтверждения найдено не было.
Для формирования строки описания системы координат для библиотеки PROJ.4 используются параметры, полученные методом преобразования радиус-вектора. Соответственно, при формировании строки описания системы координат параметры Rx, Ry, Rz, определенные в ГОСТ 32453-2013, должны указываться с противоположным знаком.
Параметры ориентации для СК-42 и СК-95 при использовании в строке PROJ.4 должны соответствовать:
СК-42 => ПЗ-90 => WGS84:
Towgs84=23.90,-141.30,-80.90,0,0.35,0.86,-0.12
СК-95 => ПЗ-90 => WGS84:
Towgs84=24.80,-131.24,-82.66,0,0,0.22,-0.12
СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS84:
Towgs84=23.57,-140.95,-79.80,0,0.35,0.79,-0.22
СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS84:
Towgs84=24.47,-130.89,-81.56,0,0,0.13,-0.22
В EPSG данные методы определены соответственно под кодами 9606 и 9607. В таблицах EPSG при указании параметров ориентации датумов также указывается метод их получения.
Порядок вычисления координат
Правообладателю необходимо определить один из четырех методов преобразования координат из WGS84 в проекцию Гаусса-Крюгера, которая наиболее достоверно удовлетворяет его потребности.
Использование EPSG при описании системы координат
В основе EPSG лежит район применения системы координат. Так как референсные системы координат СК-42 и СК-95 предназначены для проведения расчетов на территории евразийской части земной поверхности, то в таблицах EPSG с описанием систем координат обозначены параметры только для ограниченного числа зон проекции Гаусса-Крюгера. Поэтому определение описания системы координат по всей поверхности Земли с использованием кодов EPSG не представляется возможным.
Также, в рассматриваемой версии таблиц EPSG (7.5) отсутствует описание системы координат ПЗ-90.02 и, соответственно, параметры преобразования для СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS-84 и СК-95 => ПЗ-90.02 => WGS-84.
Использование библиотеки PROJ.4
Библиотека PROJ.4 свободно распространяется в исходных кодах и имеет реализации для различных языков программирования, в том числе для C и JavaScript.
Для определенных выше параметров описания систем координат формируется строка для любой зоны проекции Гаусса-Крюгера (для СК-42 => ПЗ-90.02 => WGS-84) в виде:
Proj=tmerc +lat_0=0 +lon_0=L +k=1 +x_0=X +y_0=0 +ellps=krass
+towgs84=23.57,-140.95,-79.8,0,0.35,0.79,-0.22
+units=m +no_defs
где L = 6 * N - 3 (долгота осевого меридиана),
X = 500000 + 1000000 * N (восточное смещение),
N - номер зоны.
При этом необходимо учитывать тот факт, что PROJ.4 считает, что угловые элементы взаимного ориентирования Rx, Ry, Rz получены методом преобразования радиус-вектора и, соответственно, для полученных параметров Rx, Ry, Rz из ГОСТ 32453-2013 необходимо изменить знаки на противоположные.
Использование алгоритмов пересчета ГОСТ 32453-2013
При использовании алгоритмов, указанных в ГОСТ 32453-2013, можно самостоятельно реализовать пересчет координат из WGS84 в проекцию Гаусса-Крюгера и обратно, но для пересчета из иных систем координат в WGS84 придется воспользоваться сторонними разработками.
Литература
ГОСТ 32453-2013 - Глобальная навигационная спутниковая система. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек.
Комаровский Ю. А. «Использование различных референц-эллипсоидов в судовождении», Учебное пособие, 2005.
Система координат в равноугольной проекции, которую теперь называют проекцией Гаусса - Крюгера, была введена выдающимся немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом для работки ганноверской триангуляции (1821 -1825). В 1912 и 1919 гг. ее развил немецкий геодезист Л. Крюгер. С тех пор она стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.
Проекция Гаусса - Крюгера не имеет геометрической интерпретации. Она получена аналитически путем разложения комплексной функции от изометрических координат в степенной ряд. Проекция Гаусса - Крюгера определяется тремя условиями: она равноугольная, сохраняет длины на среднем меридиане и симметрична относительно среднего меридиана и экватора. По составу она является поперечной цилиндрической проекцией. Цилиндр касается среднего меридиана зоны, и на этот цилиндр проектируется вся зона при соблюдении перечисленных выше трех условий.
В проекции Гаусса-Крюгера поверхность земного эллипсоида делится на трёх- или шестиградусные зоны, ограниченные меридианами от полюса до полюса. Всего 60 шестиградусных или 120 трёхградусных зон. Они нумеруются с запада на восток, начиная с нулевого меридиана, так, что к меридиану Гринвича с запада примыкает 60-я (120-я) зона, а с востока - 1-я зона. В каждой зоне строится своя прямоугольная система координат. Начало координат каждой зоны находится в точке пересечения экватора со средним (осевым) меридианом зоны, который изображается на проекции прямой линией и является осью абсцисс. Абсциссы считаются положительными к северу от экватора и отрицательными к югу. Осью ординат является экватор. Ординаты положительны к востоку и отрицательны к западу от осевого меридиана. При вычислениях начало координат переносят в точку пересечения осевого меридиана со средней параллельностью карты. Для получения ординат положительного значения их увеличивают на 500000 м. Перед ординатой пишется номер зоны.
Такой выбор координатных осей позволяет, во-первых, наряду с прямоугольной системой координат использовать полярную систему координат, сохраняя в силе весь математический аппарат, где обычно ось X ориентирована направо (на восток), а ось Y - вверх (на север), и, во-вторых, сохранять у людей привычку ориентироваться относительно направления на север.
В проекции Гаусса-Крюгера масштаб изображения вдоль осевого меридиана mo сохраняется и равен 1. Это видно из формулы (1)
|
где Х - длина дуги меридиана от начала прямоугольных координат до данной точки
φ - широта точки
λ - долгота точки
Л. Крюгер предложил умножить координаты х, у на некоторый множитель < 1 для того, чтобы искажения длин на краях зоны уменьшить в два раза. Это реализовано в проекции UTM, используемой в США, в которой на осевом меридиане частный масштаб длин m0 = 0,9996, в результате чего в проекции образуются две параллельные линии нулевых искажений, расположенные на расстоянии около 180 км по обе стороны от него. На границе зон в южных широтах частный масштаб длин приблизительно равен 1,0003.
В России для топографических карт масштаба 1: 1000000 применяют шестиградусные зоны. Неудобства возникают на стыке двух соседних зон. На топографических картах западной зоны одна система координат, а на соседних листах карт восточной зоны -другая. Поэтому на стыках зон предусмотрены перекрытия: западная зона расширена на восток, а восточная - на запад. Этим предоставляется возможность на стыке зон пользоваться картами в системе координат только одной зоны. Перекрытия смежных зон до широты 28° охватывают полосу шириной по долготе на 1°, на широтах от 28° до 76° - на 2° и на широтах более 76° - на 3°.
Для топографических планов масштаба 1: 5000 и 1: 2000 применяются трехградусные зоны, осевые меридианы которых совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон. При съемках городов и территорий под строительство крупных инженерных сооружений могут быть использованы частные зоны с осевым меридианом посередине объекта.
Таким образом, представляется аргументированным вывод, что проекция Гаусса-Крюгера имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, она объединяет такие положительные качества, как небольшое число зон, каждая из которых охватывает значительную территорию, ограниченную двумя меридианами с разностью долгот в 3° или 6°; умеренное и легко учитываемое изменение масштабов в пределах зон; единообразие всех зон; универсальность и глобальность координатных систем. С другой стороны, проекция Гаусса-Крюгера имеет и значительные недостатки. К ним, прежде всего, относятся отсутствие единой системы координат, вследствие чего при моделировании объектов, расположенных в нескольких зонах, возникают определенные проблемы, а также высокие искажения на краях зон.
