Решение рекуррентных соотношений. Общие и частные решения рекуррентных соотношений

Комбинаторные вычисления на конечных множествах

Введение в комбинаторику

Предметом теории комбинаторных алгоритмов, часто называемой комбинаторными вычислениями, являются вычисления на дискретных математических структурах. В этой теории большое внимание уделяется алгоритмическому подходу к решению задач дискретной математики, оптимизации перебора вариантов, сокращению числа рассматриваемых решений.

Область комбинаторных алгоритмов включает в себя задачи, которые требуют подсчёта (оценивания) числа элементов в конечном множестве или перечисления этих элементов в специальном порядке (приложение Б). При этом широко применяется процедура выбора элементов с возвращением и её варианты.

Существуют два вида задач подсчёта. В простом случае задаётся конкретное множество и требуется определить точно число элементов в нём. В общем случае имеется семейство множеств, заданное некоторым параметром, и определяется мощность множества как функция параметра. При этом часто бывает достаточной оценка порядка функции , а иногда требуется только оценка скорости её роста . Например, если мощность подлежащего рассмотрению множества растёт по некоторому параметру экспоненциально, то этого может оказаться достаточно для того, чтобы отказаться от предложенного подхода к изучению проблемы, не занимаясь различными деталями. К этому, более общему, типу проблем применяются процедуры асимптотических разложений, рекуррентных соотношений и производящих функций.

Асимптотика

Асимптота - особая линия (чаще всего прямая), являющаяся предельной для рассматриваемой кривой.

Асимптотика - это искусство оценивания и сравнения скоростей роста функций. Говорят, что при х ®¥ функция "ведёт себя, как х ", или "возрастает с такой же скоростью, как х ", и при х ®0 "ведёт себя, как 1/x ". Говорят, что "logx при x ®0 и любом e>0 ведёт себя, как x e , и что при n ®¥ растёт не быстрее, чем n logn ". Такие неточные, но интуитивно ясные утверждения полезны при сравнении функций так же, как и соотношения <, £ и = при сравнивании чисел.

Определим три основных асимптотических соотношения.

Определение 1. Функция f (x ) эквивалентна g (x ) при х ®x 0 , если и только если =1.

В этом случае говорят, что функция f (x ) асимптотически равна функции g (x ) или что f (x ) растёт с такой же скоростью, как и g (x ).

Определение 2 . f (x )=o(g (x )) при x ®x 0 , если и только если =0.

Говорят, что при x ®x 0 f (x ) растёт медленнее, чем g (x ), или что f (x ) "есть о-малое" от g (x ).

Определение 3. f (x )=О(g (x )) при x ®x 0 , если и только если существует константа С такая, что sup =С.

В этом случае говорят, что f (x ) растёт не быстрее, чем g (x ), или что при x ®x 0 f (x ) "есть О-большое" от g (x ).

Cоотношение f (x )=g (x )+o (h (x )) при x ®¥ означает, что f (x)-g (x )=o (h (x )). Аналогично f (x )=g (x )+О (h (x )) означает, что f (x )-g (x )=О (h (x )).

Выражения О(·) и о(·) могут использоваться также и в неравенствах. Например, неравенство x +o (x )£2x при x ®0 означает, что для любой функции f (x ) такой, что f (x )=o (x ), при x ®¥ имеет место соотношение x+f (x )£2x для всех достаточно больших значений х .

Приведём некоторые полезные асимптотические равенства.

Полином асимптотически равен своему старшему члену:

при x ®¥; (4.1)

при x ®¥; (4.2)

при x ®¥ и a k ¹0. (4.3)

Суммы степеней целых чисел удовлетворяют соотношению:

при n ®¥. (4.4)

Отсюда, в частности, имеем при n ®¥

В более общем случае при n ®¥ и для любого целого k ³0

; (4.6)

. (4.7)

Рекуррентные соотношения

Понятие рекуррентных соотношений проиллюстрируем на классической проблеме, поставленной и изученной Фибоначчи около 1200 г.

Фибоначчи поставил свою проблему в форме рассказа о скорости роста популяции кроликов при следующих предположениях. Все начинается с одной пары кроликов. Каждая пара кроликов становится фертильной (fertile – плодовитый) через месяц, после чего каждая пара рождает новую пару кроликов каждый месяц. Кролики никогда не умирают, и их воспроизводство никогда не прекращается. Пусть F n - число пар кроликов в популяции по прошествии n месяцев и пусть эта популяция состоит из N n пар приплода и O n “старых” пар, т.е. F n = N n + O n . Таким образом, в очередном месяце произойдут следующие события:

Старая популяция в (n +1)-й момент увеличится на число родившихся в момент времени n , т.е. O n+1 = O n + N n = F n ;

Каждая старая в момент времени n пара производит в момент времени (n +1) пару приплода, т.е. N n+1 = C n .

В последующий месяц эта картина повторяется:

O n+2 = O n+1 + N n+1 = F n+1 ,

N n+2 = O n+1 ;

объединив эти равенства, получим рекуррентное соотношение Фибонначи:

O n+2 + N n+2 = F n+1 + O n+1 ,

F n+2 = F n+1 + F n . (4.8)

Выбор начальных условий для последовательности чисел Фибоначчи не важен; существенные свойства этой последовательности определяются рекуррентным соотношением (4.8). Обычно полагают F 0 =0, F 1 =1 (иногда полагают F 0 =F 1 =1).

Рекуррентное соотношение (4.8) является частным случаем однородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами:

x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a k x n-k , (4.9)

где коэффициенты a i не зависят от n и x 1 , x 2 , …, x k считаются заданными.

Существует общий метод решения (т.е. отыскания x n как функции n ) линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами. Этот метод рассмотрим на примере соотношения (4.8). Найдём решение в виде

F n =cr n (4.10)

с постоянными с и r . Подставляя это выражение в (4.8), получим

cr n + 2 = cr n+ 1 + cr n ,

cr n (r n -r -1)=0. (4.11)

Это означает, что F n =cr n является решением, если либо с =0, либо r = 0 (и отсюда F n =0 для всех n ), а также (и это более интересный случай) если r 2 - r -1=0, причём константа с произвольна. Тогда из (4.11) следует

r = или r = . (4.12)

Число »1,618 известно как ²золотое² сечение, поскольку с древних времен считается, что треугольник (прямоугольник) со сторонами 1 и имеет наиболее приятные для глаза пропорции.

Сумма двух решений однородного линейного рекуррентного соотношения, очевидно, также является решением, и можно на самом деле показать, что общее решение последовательности Фибоначчи имеет вид

F n = , (4.13)

где константы с и с’ определяются начальными условиями. Положив F 0 =0 и F 1 =1, получим следующую систему линейных уравнений:

, (4.14)

решение которой даёт

c = -c" = . (4.15)

Общим решением рекуррентного соотношения (1) называется множество всех последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Частным решением соотношения (1) называется одна из последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Пример 1¢. Последовательность a n =a 0 +nd a n =a n - 1 +d . Это - формула общего члена арифметической прогрессии с разностью d и с начальным членом прогрессии a 0 .

Пример 2¢. Последовательность b n =b 0 ×q n является общим решением соотношения b n =b n - 1 ×q . Это - формула общего члена геометрической прогрессии со знаменателем q ¹0 и с начальным членом прогрессии b 0 .

Пример 3¢. Так называемая формула Бине j n =является частным решением соотношения j n =j n - 2 +j n - 1 при j 0 =j 1 =1.

Так как простые корни x 1 ,…,x k попарно различные, то D¹0. Значит, система (5) имеет (единственное) решение.

Задача 1. Найти общий член геометрической прогрессии по формуле (4).

Решение b n =qb n - 1 имеет вид . Поэтому .

Задача 2. Найти общее решение соотношения Фибоначчи a n + 2 =a n +a n + 1 .

Решение . Характеристический многочлен рекуррентного соотношения a n + 2 =a n +a n + 1 имеет вид . Поэтому .

Приведем без доказательства следующее обобщение теоремы 1.

Теорема 2 . Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет k корней: a 1 кратности , …, a k кратности , , . Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

Задача 3. Найти общее решение соотношения .

Решение. Характеристический многочлен имеет корень 2 кратности 3. Поэтому .

Замечание . Общее решение неоднородного линейного соотношения (2) можно найти как сумму общего решения однородного линейного соотношения (3) и частного решения неоднородного линейного соотношения (2).

4. Производящие функции. Формальный ряд a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +…+a k x k +… называется производящей функцией последовательности a 0 ,a 1 ,a 2 ,…,a k ,…

Производящая функция является или сходящимся рядом, или расходящимся рядом. Два расходящихся ряда могут быть равны как функции, но быть производящимися функциями различных последовательностей. Например, ряды 1+2x +2 2 x 2 +…+2 k x k +… и 1+3x +3 2 x 2 +…+3 k x k +… определяют одну и ту же функцию (равную 1 в точке x =1, неопределенную в точках x >1), но являются производящими функциями различных последовательностей.

Свойства производящих функций последовательностей:

сумма (разность) производящих функций последовательностей a n и b n равна производящей функции сумме (разности) последовательностей a n +b n ;

произведение производящих функций последовательностей a n и b n является производящей функцией свёртки последовательностей a n и b n :

c n =a 0 b n +a 1 b n - 1 +…+a n - 1 b 1 +a n b 0 .

Пример 1. Функция является производящей для последовательности

Пример 2. Функция является производящей для последовательности 1, 1, 1, …

РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

(от лат. recur-rens, род. падеж recurrentis - возвращающийся) - однотипные ф-лы, к-рые связывают между собой идущие друг за другом нек-рой последовательности (это может быть последовательность чисел, ф-ций и т. д.). В зависимости от природы объектов, связанных Р. с., эти соотношения могут быть алгебраическими, функциональными, дифференциальными, интегральными и т. п.

Наиб. известный класс Р. с.- это рекуррентные ф-лы для специальных функций. Так, для цилиндрических функций Z m (x )P. с. имеют вид

Они позволяют по ф-ции Z m0 (x )найти ф-ции Z m (x )п-ри т = т 0 b 1, т 0 b 2 и т. д. либо, напр., по значениям ф-ций в нек-рой точке х 0 . 0 найти (в численных расчётах) значение любой из ф-ций

В этой же точке (здесь m 0 - любое вещественное число).

Др. важный класс Р. с. дают многочисленные методы последовательных приближений (см. Итераций метод); сюда же примыкают и методы возмущений теории.

В квантовой механике есть ещё один вид Р. с., связывающих между собой векторы в гильбертовом пространстве состояний. Напр., стационарные гармония, осциллятора параметризуются целыми неотрицательными числами. Соответствующие векторы, обозначаемые , где n - целое, при разных n могут быть получены друг из друга действием операторов рождения а + и уничтожения а :

Эти соотношения можно разрешить, выразив любой вектор через (наинизшее энергетич. состояние, h = 0):

Обобщением этой конструкции является представление вторичного квантования в квантовой статистич. механике и квантовой теории поля (см. Фока пространство).

Типичный пример Р. с. в статистич. механике - ур-ния для частичных ф-ций распределения, образующие цепочку Боголюбова (см. Боголюбова уравнения); знание таких ф-ций позволяет найти все термодинамич. характеристики системы.

В квантовой теории поля динамич. содержится, напр., в Грина функциях. Для их вычисления используют разл. приближения, чаще всего - расчеты по теории возмущений. Альтернативный подход основан на интегродифференциальных Дайсона уравнениях, являющихся Р. с.: ур-ние для двухточечной ф-ции Грина содержит четырёхточечную и т. д. Как и ур-ния Боголюбова, эту систему удаётся решать, лишь "оборвав" цепочку (место "обрыва" выбирается обычно из физ. соображений и определяет получаемое ).

Ещё один вид Р. с. в квантовой теории поля - У орда тождества в теориях калибровочных полей. Эти тождества также представляют собой цепочку интегродифференциальных соотношений, связывающих между собой ф-ции Грина с разл. числом внешних линий, p являются следствием калибровочной инвариантности теории. Решающую роль они играют для проверки калибровочной симметрии при проведении процедуры перенормировки.

Наконец, сама - тоже рекуррентная процедура: на каждом шаге (в каждой следующей петле) используются контрчлены, полученные из вычисления диаграмм с меньшим числом петель (подробнее см. R-операция). А. М. Малокостов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ" в других словарях:

рекуррентные соотношения - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN recurrence relations … Справочник технического переводчика

- (функции Вебера) общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение… … Википедия

Или считалка Джозефуса известная математическая задача с историческим подтекстом. Задача основана на легенде, что отряд Иосифа Флавия, защищавший город Йодфат, не пожелал сдаваться в плен блокировавшим пещеру превосходящими силам римлян.… … Википедия

Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов … Википедия

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Последовательность Падована это целочисленная последовательность P(n) с начальными значениями и линейным рекуррентным соотношением Первые значения P(n) таковы 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 … Википедия

Многочлены Эрмита определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1… … Википедия

- (функции Бесселя) решения Zv(z)ур ния Бесселя где параметр (индекс) v произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур ние, зависящее от четырёх параметров: решения к рого выражаются через Ц … Физическая энциклопедия

Метод решения системы линейных алгебраич. уравнений А х= b с эрмитовой невырожденной матрицей А. Среди прямых методов он наиболее эффективен при реализации на ЭВМ. Вычислительная схема метода в общем случае основана на факторизации эрмитовой… … Математическая энциклопедия

Модифицированные функции Бесселя это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. Если в дифференциальном уравненни Бесселя заменить на, оно примет вид Это уравнение называется модифицированным уравнением Бессел … Википедия

При большом объеме совокупности данных наблюдения х конечные методы решения уравнения правдоподобия приводят к значительным вычислительным трудностям, связанным с необходимостью запомина­ния большого числа исходных данных и промежуточных результатов вычислений. В связи с этим особый интерес представляют рекуррентные методы, в которых оценка максимального правдоподобия вычисляется по шагам с постепенно увеличивающейся точностью, причем каждый шаг связан с получением новых данных наблюдения, а рекуррентная проце­дура строится так, чтобы хранить в памяти по возможности наименьшее количество данных от предыдущих шагов. Дополнительным и весьма существенным с практической точки зрения преимуществом рекуррент­ных методов является готовность к выдаче результата на любом про­межуточном шаге.

Это обусловливает целесообразность применения рекуррентных ме­тодов даже в тех случаях, если удается получить точное решение урав­нения максимального правдоподобия конечным методом, и делает их еще более ценными, когда невозможно найти точное аналитическое вы­ражение для оценки максимального правдоподобия.

Пусть совокупность данных наблюдения представляет собой по­следовательность для описания которой введем вектор . (Как всегда, каждая его компонента , в свою очередь, может быть вектором, отрезком случайного процесса и т. д.). Пусть - функция правдоподобия, а

ее логарифм. Последний всегда можно представить в виде

Логарифм функции правдоподобия для совокупности данных наблю­дения без последнего значения, а

Логарифм условной плотности вероятности значения при заданных значениях и .

Представление (7,5.16) для логарифма функции правдоподобия яв­ляется основой для получения рекуррентной процедуры вычисления оценки максимального правдоподобия. Рассмотрим регулярный случай. При этом оценка максимального правдоподобия может быть найдена как решение уравнения

которое отличается от (7.1.6) только введением индекса п у логарифма функции правдоподобия.

Обозначим решение этого уравнения через подчеркнув тем са­мым, что эта оценка получена по совокупности данных наблюдения . Аналогично обозначим через решение уравнения- оценку максимального правдоподобия, полученную по совокупности данных .

Уравнение (7.5.19) можно переписать с учетом (7.5.16) в следующем виде:

Разложим левую часть (7.5.20) в ряд Тейлора в окрестности точки . При этом

(7.5.22)

Вектор градиента функции в точке ; слагаемое обращается в нуль благодаря тому, что , является решением уравнения правдоподобия для предыдущего (п - 1)-го шага:

Симметричная матрица вторых производных логарифма функции правдоподобия в точке , взятая с обратным знаком, аненапи­санные члены разложения имеют квадратичный и более высокий поря­док малости относительно разности . Пренебрегая этими по­следними, получаем следующее приближенное решение уравнения ма­ксимального правдоподобия:

где - матрица, обратная .

Это решение представлено в форме рекуррентного соотношения, определяющего очередное значение оценки через оценку на предыдущем шаге и поправку , зависящую от имеющихся данных наблюдения непосредственно и через предыдущую оценку. Поправка формируется как произведение градиента логарифма условной плотно­сти вероятности вновь полученного значения х n в точке , равной предыдущей оценке, на весовую матрицу . По­следняя определяется выражением (7.5.23) и также зависит от оценки на предыдущем шаге, а ее зависимость от новых данных наблюдения целиком определяется видом логарифма условной плотности веро­ятности .

По форме соотношение (7.5.24) очень похоже на (7.5.8), реализую­щее итеративный способ вычисления оценки максимального правдоподо­бия по методу Ньютона. Однако на самом деле они существенно отли­чаются друг от друга. В (7.5.8) поправка к предыдущему значению оцен­ки определяется величиной градиента логарифма всей функции правдо­подобия, который всегда зависит от всех имеющихся данных наблюде­ния , что требует запоминания всей этой совокупности. В соответствии с (7.5.24) поправка к определяется величиной гра­диента , который благодаря свойствам условной плотности вероятностифактически зависит только от тех значений (), которые находятся в сильной статистической связи с х n . Это различие является следствием специального выбора предыдущего приближения как оценки максимального правдоподобия, найденной по уменьшенной на одно значение совокупности данных наблюдения , и особенно ярко проявляется при независимых значениях (). В этом последнем случае

благодаря чему зависит только от и х n , а градиент - только от предыдущего значения оценки и вновь полученных на п- мшаге данных наблюдения . Поэтому при незави­симых значениях для формирования вектора не требуется запо­минать с предыдущего шага никакой иной информации, кроме значения оценки .

Аналогично, в случае марковской последовательности данных на­блюдения, то есть при

вектор зависит только от , текущего и одного предыдущего значения .В этом случае для вычисления требуется запомнить с предыдущего шага, помимо значения , еще только значение , но не всю совокупность данных наблюдения, как в ите­ративной процедуре. В общем случае для вычисления может потребоваться запоминание большего числа предыдущих значений (), однако из-за необходимости учета только тех значе­ний , которые статистически зависимы с , это число практически всегда меньше полного объема совокупности данных наблюдения . Так, если вектор описывает временную последователь­ность, то количество подлежащих запоминанию членов этой последова­тельности определяется временем ее корреляции, а относительная их доля убывает обратно пропорционально n , как и в случае независимых значений .

Рассмотрим теперь структуру весовой матрицы , входящей в ре­куррентное соотношение (7.5.24). Согласно определению (7.5.23), из-за наличия слагаемого она, вообще говоря, зависит от всех значений даже при независимых значениях , что ли­шает рекуррентное соотношение (7.5.24) преимуществ, связанных с воз­можным сокращением количества запоминаемых с предыдущего шага данных. Существует несколько способов приближенного вычисления ма­трицы , которые устраняют этот недостаток.

Первый из них основан на более последовательном использовании основного предположения о малом различии двух очередных значений оценки и , которое является основой для получения рекур­рентного соотношения (7.5.24). Это позволяет получить аналогичное ре­куррентное соотношение для весовой матрицы .Действительно, используя малость из (7.5.23), имеем

Введя обозначение

из (7.5.24) и (7.5.25) получим систему рекуррентных соотношений для вектора и весовой матрицы

Эта система совместно с начальными значениями и полностью определяет значение оценки на любом шаге, требуя на каждом из них вычисления только градиента и матрицы вторых производных от логарифма условной плотности вероятности для текущего наблюдаемого значения . Начальные значе­ния выбираются с учетом имеющихся априорных данных о возможных значениях и диапазоне изменения параметров , а при полном отсутст­вии этих данных принимаются нулевыми (,).

При независимых значениях система рекуррентных соотношений (7.5.27), очевидно, описывает многомерный (размерности ) марковский случайный процесс, компонента которого сходит­ся к истинному значению параметра , а компонента сходится к ин­формационной матрице Фишера (7.3.8), где - истинное значение оцениваемого параметра, и неограниченно увеличивается с ростом п. Аналогичные свойства сходимости система (7.5.27) имеет и при более общихусловиях, если последовательность явля­ется эргодической.

Второй из упомянутых способов основан на замене матрицы вторых производных от логарифма функции правдоподобия ее матема­тическим ожиданием - информационной матрицей Фишера, которая с учетом (7.5.16) может быть записана в виде:

где аналогично (7.5.26)

Заменяя в (7.5.24) матрицу матрицей , получаем ре­куррентное соотношение

для приближенного вычисления оценок максимального правдоподобия, предложенное Сакрисоном (в оригинале для независимых одина­ково распределенных , когда и . Это рекуррентное соотношение проще системы (7.5.27), поскольку оптимальная весовая матрица заменена ее мате­матическим ожиданием, и для ее нахождения не требуются имеющиеся данные наблюдения, кроме тех, которые сконцентрированы в значении оценки . В то же время очевидно, что подобная замена означает необходимость выполнения дополнительного по сравнению с (7.5.27) требования близости матрицы вторых производных к своему математи­ческому ожиданию.

Если плотность распределения вероятности и матри­ца меняются от шага к шагу, прямое нахождение на каждом шаге может потребовать слишком большого числа вычисле­ний. При этом за счет дополнительного уменьшения точности ре­зультатов, определяемого неравенством нулю малых разностей , можно перейти к рекуррентному вычислению приближен­ного значения матрицы . Возвращаясь к прежнему обозначе­нию для этого приближенного значения, получаем еще одну систему рекуррентных соотношений

Математическое ожидание матрицы (информационная матри­ца Фишера для одного наблюдения ), взятое в точке . Эта система отличается от (7.5.27) тем, что во втором из рекуррентных соот­ношений (7.5.31) не участвуют непосредственно данные наблюдения .

Любая из рассмотренных выше систем рекуррентных соотношений является совершенно точной, если функция квадратично зависит от , и дополнительно матрица вторых производных не зависит от . Фактически это соответствует случаю независимых нормально рас­пределенных (не обязательно одинаково) значений с неизвестным математическим ожиданием , которое и представляет собой оценивае­мый параметр.

Система рекуррентных соотношений (7.5.24) дает точное решение уравнения максимального правдоподобия в гораздо более широких условиях при единственном требовании, чтобы функция квадра­тично зависела от . При этом зависимость от произвольна, что соответствует широкому классу распределений вероятности совокуп­ности как с независимыми, так и с зависимыми значениями.

Наряду с рассмотренными общими способами существует еще ряд методов выбора матрицы весовых коэффициентов в рекуррентном соотношении (7.5.24), приспособленных к тем или иным конкретным ограничениям. Простейшим из них является выбор в виде диагональной матрицы, так что , (I - единичная матрица), где - убывающая последовательность чис­ловых коэффициентов, выбираемая независимо от свойств функции правдоподобия так же, как в процедуре стохастической аппроксимации Робинса - Монро, которая будет рассмотрена в следующих главах.

Стоит отметить, что любые итерационные или рекуррентные про­цедуры нахождения оценок максимального правдоподобия в общем случае являются приближенными. Поэтому, вообще говоря, для оценок, получающихся в результате применения этих процедур, состоятельность, асимптотическую эффективность и асимптотическую нормальность нуж­но доказывать заново. Для итеративных процедур необходимые свой­ства оценок гарантируются тем, что в принципе такие процедуры при соответствующем числе итераций дают решение уравнения правдоподо­бия с любой наперед заданной точностью. Для рекуррентных процедур типа (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) и других имеются специальные доказа­тельства. При этом, помимо требования регулярности, предъявляются некоторые дополнительные требования:

На поведение функции (7.2.2) при различных значениях ||, для достижения с помощью рекуррентной процедуры глобаль­ного максимума этой функции в точке , соответствующей истинно­му значению параметра;

На порядок роста вторых моментов производных логарифма функции правдоподобия при больших по модулю значениях . Эти тре­бования являются следствием более общих усло­вий сходимости в точку всех или части компонент марковского случай­ного процесса, к которому приводит та или иная рекуррентная про­цедура.

В заключение отметим также, что в том случае, когда существует точное решение уравнения максимального правдоподобия, оно практиче­ски всегда может быть представлено в рекуррентном виде. Приведем два простых разнородных примера. Так, элементарная оценка неизвест­ного математического ожидания нормальной случайной величины по совокупности n ее выборочных значений в виде арифме­тического среднего

является оценкой максимального правдоподобия и может быть пред­ставлена в рекуррентном виде:

что является самым простым частным случаем (7.5.30) при

Другой пример - это нерегулярная оценка максимального правдо­подобия для параметра - ширины прямоугольного распределения – из (7.4.2), которая также может быть определена рекуррентным соот­ношением

с начальным условием . Это рекуррентное соотношение уже дру­гого типа: его правую часть нельзя представить в виде суммы предыду­щей оценки и малой поправки, что является следствием нерегулярности этого примера; однако оно обладает всеми преимуществами рекуррент­ного подхода: требует запоминания с предыдущего шага всего одного числа - оценки - и резко сокращает перебор до одного сравнения свместо сравнения всех значений .

Приведенные примеры иллюстрируют преимущества рекуррентных методов даже в том случае, когда уравнение максимального правдопо­добия допускает точное решение, ибо простота аналитического пред­ставления результата не тождественна вычислительной простоте его по­лучения.

7.5.3. Переход к непрерывному времени. Дифференциальные уравнения для оценок максимального правдоподобия

Рассмотрим теперь специальный случай, когда имеющиеся данные наблюдения х описываются не совокупностью выборочных точек , а представляют собой отрезок реализации некоторого процесса , зависящего от параметров , заданный на интервале , при­чем длина этого интервала может увеличиваться при наблюдении (мо­мент времени t является переменным).

Для статистического описания данных наблюдения в этом случае вводится функционал отношения правдоподобия, представляющий собой предел при , maxотношения плотности распределе­ния вероятности совокупности значений при произ­вольно заданном значении к аналогичной плотности вероятности при некотором фиксированном значении , а в некоторых случаях, когда допускает представление , где - случай­ный процесс, не зависящий от , к плотности вероятности совокупности значений при условии, что . Использование функционала отношения правдоподобия позволяет исключить формальные труд­ности определения плотности вероятности, возникающие при переходе к непрерывному времени.

Логарифм функционала отношения правдоподобия может быть представлен в виде

где - некоторый функционал процесса на интервале . В некоторых случаях функционал вырождается в функ­цию, зависящую только от значения . Так, если

где - известная функция времени и параметров , а - дельта-коррелированный случайный процесс («белый» шум) со спек­тральной плотностью N o ,то, выбирая в качестве знаменателя отношения правдоподобия распределения вероятности х при , будем иметь

Пусть - оценка максимального правдоподобия параметра , построенная по реализации процесса на интервале ,то есть решение уравнения максимального правдоподобия

Дифференцируя левую часть этого уравнения по времени, получаем

Вводя обозначения

и решая уравнение (7.5.42) относительно , получаем диффе­ренциальное уравнение для оценки максимального правдоподобия

Матрица , в свою очередь, согласно (7.5.37) определяется диффе­ренциальным уравнением

Так же, как в дискретном случае, матрица в (7.5.45), (7.5.47) мо­жет быть заменена своим математическим ожиданием - информационной матрицей Фишера при значении , а диф­ференциальное уравнение (7.5.46) для весовой матрицы - урав­нением

где аналогично дискретному случаю

Математическое ожидание матрицы вторых производных .

Совокупность дифференциальных уравнений (7.5.45), (7.5.46) или (7.5.45), (7.5.48) совместно с начальными условиями, относительно вы­бора которых остается в силе все сказанное для дискретного случая, полностью определяет оценку максимального правдоподобия для любого момента времени. Эта совокупность может быть смоделирована с помощью соответствующих, вообще говоря, нелинейных аналоговых устройств или при подходящей дискретизации по времени решена с по­мощью ЭВМ. Отметим в заключение одну из модификаций этих урав­нений, позволяющую избежать необходимости обращения матрицы .

Вводя обозначение

, где I

и дифференцируя по времени соотношение , где I - единич­ная матрица, получаем с помощью (7.5.46) дифференциальное уравне­ние, определяющее непосредственно матрицу :

(и аналогично при замене на ), которое совместно с уравнением (7.5.45)

определяет оценку , не требуя обращения матриц. При этом имеет место переход от простейшего линейного дифференциального уравнения (7.5.46) к нелинейному относительно дифференциальному уравне­нию (7.5.51) типа Риккати.

Рекуррентным соотношением , рекуррентным уравнением или рекуррентной формулой называется соотношение вида , которое позволяет вычислять все члены последовательности
, если заданы ее первые k членов.

1. Формула
задает арифметическую прогрессию.

2. Формула
определяет геометрическую прогрессию.

3. Формула
задает последовательность чисел Фибоначчи .

В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т. е. выполняется соотношение вида

(p =const), последовательность
называется возвратной . Многочлен

называется характеристическим для возвратной последовательности
. Корни многочлена
называются характеристическими .

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим уравнением .

Описание общего уравнения соотношения (1) имеет аналоги с описанием решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема 1. 1. Пусть - корень характеристического многочлена (2). Тогда последовательность
, где c – произвольная константа, удовлетворяет соотношению (1).

2. Если
- простые корни характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного соотношения (1) имеет вид , где
- произвольные константы.

3. Если - корень кратности
характеристического многочлена (2), то общее решение рекуррентного соотношения (1) имеет вид
, где - произвольные константы.

Зная общее решение рекуррентного уравнения (1), по начальным условиям,
можно найти неопределенные постоянные и те самым получить решение уравнения (1) с данными начальными условиями.

Пример 2. Найти последовательность
, удовлетворяющую рекуррентному соотношению
и начальным условиям
.

Корням характеристического многочлена
являются числа
. Следовательно, по теореме 3.1. общее решение имеет вид
. Используя начальные условия, получаем систему

решая которую, находим
и
. Таким образом,
.

Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение

Пусть
- общее решение однородного уравнения (1), а
- частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (3). Тогда последовательность
образует общее решение уравнения (3), и тем самым справедлива.

Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного линейного рекуррентного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

Таким образом, в силу теоремы 1. задача нахождения общего решения рекуррентного уравнения (3) сводится к нахождению некоторого частного решения.

В отдельных случаях имеются общие рецепты нахождения общего решения.

Если
(где ) не является характеристическим корнем, то, подставляя
в (3), получаем и отсюда
, т. е. частное решение можно задать формулой
.

Пусть
- многочлен степени r от переменной n , и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда и частное решение следует искать в виде
. Подставляя многочлены в формулу (3), получаем

Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем соотношения чисел , позволяющие эти числа определить.

Пример. Найти решение уравнения

(4)

с начальным условием
.

Рассмотрим характеристический многочлен
. Так как
и правая часть
уравнения (3) равна n +1, то частное решение будем искать в виде
. Подставляя в уравнение (4), получаем . Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему

откуда находим
. Таким образом, частное решение уравнения (4) имеет вид
. По теореме 3.1. общее решение однородного уравнения
задается формулой
, и по теореме 3.2. получаем общее решение уравнения (4):
. Из начального условия
находим
, т. е. . Таким образом,
.