Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной осью. Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже Применение способа секущих плоскостей в случаях линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси i (рис. 103).

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

Очерки

При задания для проецировании объекта с криволинейными гранями, помимо определения множество точек, ребер и граней объекта проецирования, необходимо определить множество очерков для его криволинейных граней.

Очерки криволинейной поверхности представляют собой линии на этой криволинейной поверхности, разделяющие эту поверхность на части, которые не видимы, и части, которые видны на плоскости проекции. В данном случае речь идет о проекции только рассматриваемой криволинейной поверхности и не учитывается возможное затенение этой поверхности другими поверхностями переднего плана.

Части, на которые очерки разбивается криволинейную поверхность, называются отсеками .

Положение очерков криволинейных граней определяется параметрами проекции, поэтому очерки должны определяться после того, как совершен переход в видовую систему координат.

Определение очерка криволинейной поверхности, в общем случае, представляет собой сравнительно сложную задачу. Поэтому, как правило, заданную криволинейную поверхность аппроксимируют с помощью одной из типовых криволинейных поверхностей, к числу которых относятся:

Цилиндрическая поверхность;

Сферическая поверхность;

Коническая поверхность.

Рассмотрим нахождение очерков для этих видов криволинейных поверхностей.

Нахождение очерков сферической поверхности иллюстрируется Рис. 6.6‑7.

На рисунке приняты следующие обозначения:

О - центр сферы;

О п – проекция центра сферы;

ГМ – главный меридиан заданной сферы;

Пл1- плоскость, проходящая через центр сферы, параллельная плоскости проекции;

X в , Y в , Z в – координатные оси видовой системы координат;

X п , Y п – координатные оси на плоскости проекции.

Чтобы найти очерк на поверхности сферы необходимо через центр сферы провести плоскость (пл1 на Рис. 6.6‑7), параллельную плоскости проекции. Линия пересечения этой поверхности и сферы, имеющая форму окружности, называется главным меридианом (ГМ) сферической поверхности. Этот главный меридиан и является искомым очерком.

Проекцией этого очерка будет являться окружность с тем же радиусом. Центром этой окружности является проекция центр исходной сферы на плоскость проекции (О п на Рис. 6.7‑1).

Рис. 6.7 ‑ 1

Для определения очерка цилиндрической поверхности , через ось заданного цилиндра o 1 o 2 (Рис. 6.7‑2) проводится плоскость Пл1, перпендикулярная плоскости проекции. Далее через ось цилиндра проводится плоскость Пл2, перпендикулярная плоскости Пл1. Ее пересечения с цилиндрической поверхности образуют две прямые линии o ч 1 оч 2 и o ч 3 o ч 4 , которые являются очерками цилиндрической поверхности. Проекцией этих очерков являются прямые линии o ч 1п оч 2п и o ч 3п o ч 4п , показанные на Рис. 6.7‑2 .

Построение очерков конической поверхности иллюстрируется Рис. 6.7‑3.

На приведенном рисунке приняты следующие обозначения:

O - вершина конуса;

OO 1 - ось конуса;

X в , Y в , Z в – видовая система координат;

ПП – плоскость проекции;

X п , Y п , –система координат плоскости проекции;

Лп – линии проекции;

O 1 - центр сферы, вписанной в конус;

O 2 – окружность-касательная вписанной сферы, имеющая центр в точке O 1 , и исходной конической поверхности;

O ч 1 , O ч 1 – точки, лежащие на очерках конической поверхности;

O ч 1п , O ч 1п - точки, через которые проходят линии, соответствующие проекциям очерков конической поверхности.

Коническая поверхность имеет два очерка в виде прямых линий. Очевидно, что эти линии проходят через вершин конуса - точку О. Для однозначного задания очерка поэтому необходимо найти по одной точке для каждого очерка.

Для построения очерков конической поверхности выполняют следующие действия.

В заданную коническую поверхность вписывается сфера (например, с центром в точке О 1) и определяется касательная этой сферы с конической поверхностью. В рассматриваемом на рисунке случае линия касания будет иметь форму окружности с центром в точке О 2 , лежащей на оси конуса.

Очевидно, что из всех точек сферической поверхности точками, принадлежащими очеркам, могут быть только точки, принадлежащие окружности-касательной. С другой стороны, эти точки обязательно должна находиться на окружности главного меридиана вписанной сферы.

Поэтому искомыми точками будет точки пересечения окружности главного меридиана вписанной сферы и окружности-касательной. Эти точки можно определить как точки пересечения окружности-касательной и плоскости, проходящей через центр вписанной сферы O 1 , параллельной плоскости проекции. Такими точками на приведенном рисунке являются O ч 1 и O ч 2 .

Для построения проекций очерков достаточно найти точки O ч 1п и O ч 2п , являющихся проекциями найденных точек O ч 1 и O ч 2 на плоскость проекции , и, используя эти точки и точку O п проекции вершины конуса, построить две прямые линии, соответствующие проекциям очерков заданной конической поверхности (см. Рис. 6.7‑3).

На рис. 354 изображен прямой круговой конус, ось которого параллельна пл. π 2 и наклонена к пл. π 1 Очерк его фронтальной проекции задан: это равнобедренный треугольник S"D"E". Требуется построить очерк горизонтальной проекции.

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. π 1 при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса.

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям: малой D"E" и большой, равной по своей величине D"E" (диаметру окружности основания конуса). Прямые S"B" и S"F" получатся, если провести из точки S" касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на π 1 плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S" к окружности - проекции экватора сферы - и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки А" - фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка А" получается при пересечении фронтальных проекций: 1) окружности касания конуса и сферы (прямая M"N") и 2) экватора сферы (прямая К"L"). Теперь можно найти проекцию А" на горизонтальной проекции экватора и через точки S" и А" провести прямую - горизонтальную проекцию искомой образующей. На этой прямой определяется и точка В, горизонтальная проекция которой (точка В") есть точка касания прямой с эллипсом.

С построением очерков проекций конуса вращения мы встречаемся, например, в таком случае: даны проекции вершины конуса (S", S"), направление его оси (SK), размеры высоты и диаметра основания; построить проекции конуса. На рис. 355 это сделано при помощи дополнительных плоскостей проекций.

Так, для построения фронтальной проекции введена пл. π 3 , перпендикулярная к π 2 и параллельная прямой SK, определяющей направление оси конуса. На проекции S""K"" отложен отрезок S""C"", равный заданной высоте конуса. В точке С"" проведен перпендикуляр к S""C"", и на нем отложен отрезок C""B"", равный радиусу основания конуса. По точкам C"" и B"" получены точки C" и B" и тем самым получена малая полуось C"B" эллипса- фронтальной проекции основания конуса. Отрезок C"A" , равный C""B"", представляет собой большуюполуось этого эллипса. Имея оси эллипса, можно его построить так, как былопоказано на рис. 147.

Для построения горизонтальной проекции введена плоскость проекций π 4 , перпендикулярная к π 1 и параллельная SK. Ход построения аналогичен описанному для фронтальной проекции.

Как же построить очерки проекции? На рис. 356 показан иной, чем на рис. 354, способ проведения касательной к эллипсу - без вписанной в конус сферы.

Сначала радиусом, равным малой полуоси эллипса, из его центра проведена дуга (на рис. 356 это четверть окружности). Определяется точка 2 пересечения этой дуги с окружностью диаметра S"C". Из точки 2 проведена прямая параллельно большой оси эллипса; эта

прямая пересекает эллипс в точках К" 1 и К 2 . Теперь остается провести прямые S"К" 1 и S" К" 2 они являются касательными к эллипсу и входят в очерк фронтальной проекции конуса.

На рис. 357 изображено тело вращения с наклонной осью, параллельной пл. π 2 .Это тело ограничено комбинированной поверхностью, состоящей из двух цилиндров, поверхности кругового кольца и двух плоскостей. Очерк фронтальной проекции этого тела - его главный меридиан.

Очерк горизонтальной проекции верхней цилиндрической части данного тела составляется из эллипса и двух касательных к нему прямых. Прямая А"В" является горизонтальной проекцией образующей цилиндра, по которой проецирующая на π 1 плоскость касается поверхности цилиндра. Это же относится и к очерку проекции нижнего цилиндра (на рис. 357 этот очерк изображен не полностью).

Переходим к более сложной части очерка - промежуточной. Мы должны построить горизонтальную проекцию той пространственной кривой линии, в точках которой проходят проецирующие прямые, касательные к поверхности кругового кольца и перпендикулярные к пл. π 1 . Фронтальная проекция каждой точки такой кривой построена таким способом, как это было сделано для точки А" на рис. 354,- при помощи вписанных сфер. Горизонтальные проекции точек определяются на проекции экватора соответствующей сферы. Так построена, например, точка D 1 (D" 1 , D" 1).

Точки К" 1 и К" 2 получаются по точке К" 1 (она же К" 2) на экваторе сферы с центром О, а эта точка К" 1 (К" 2) получается при проведении линии связи, касательной к построенной кривой B"D" 1 C".

Итак, кривая B"D" 1 K" 1 содержит фронтальные проекции точек, горизонтальные проекции которых В", D" 1 , К" 1 входят в очерк горизонтальной проекции рассматриваемого тела.

Вопросы к §§ 53-54

1. Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности?
2. Что называется обыкновенной (или правильной) точкой поверхности?
3. Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке?
4. Что называется нормалью к поверхности?
5. Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо точке на сфере?
6. В каком случае кривая поверхность относится к числу выпуклых?
7. Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю? Укажите пример пересечения по двум прямым.
8. Как используются сферы, вписанные в поверхность вращения, ось которой параллельна пл. π 2 , для построения очерка проекции этой поверхности на пл. π 1 , по отношению к которой ось поверхности вращения наклонена под острым углом?
9. Как провести касательную к эллипсу из точки, лежащей на продолжении его малой оси?
10. В каком случае очерки проекций цилиндра вращения и конуса вращения будут совершенно одинаковыми на пл. π 1 , и пл. π 2 ?

Рис. 7.2. Построение проекций поверхностей: а – цилиндрической; б – сферы

Очерком поверхности называют линию, ограничивающую проекцию фигуры на плоскости проекций. Проекции любой точки поверхности лежат внутри очерка (в частном случае на очерке). Если линией контура поверхности служит образующая поверхности, то её называют контурной образующей , а её проекцию – очерковой образующей .

При построении эпюра поверхности направление проецирования совпадает с направлением взгляда наблюдателя, поэтому контурная линия является границей видимости поверхности: та её часть, которая расположена перед линией контура, – видима, остальная – невидима.

Очерковая линия разделяет проекцию на видимую и невидимую части. Проекции точек поверхности, расположенные на очерках, будем называть точками перемены (границы) видимости. Невидимые точки принято обозначать в скобках.

7.3. Классификация поверхностей

Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучении. Для того чтобы обеспечить процесс изучения поверхностей, необходимо их систематизировать. К сожалению, невозможно разработать универсальную классификацию поверхностей. Внутри каждого способа образования поверхностей существует своя база для систематизации, например, в кинематическом способе образования поверхностей в основе систематизации лежит вид образующей и закон ее перемещения. Одна из возможных классификаций представлена на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Классификация поверхностей

Линейчатые поверхности .Поверхности, которые образуются при некотором закономерном движении прямой в пространстве, называются линейчатыми .Линейчатые поверхностив общем случае однозначно определяются тремя направляющими линиями m, n, f .

Линейчатые поверхности делятся на развёртывающиеся и неразвёртывающиеся. Развертывающиеся поверхности могут без деформации (складок и разрывов) совмещаться с плоскостью. К наиболее распространенным развёртывающимся поверхностям относятся: цилиндрические, конические, с ребром возврата (торса), призматические, пирамидальные.

Поверхности вращения общего вида. Поверхности вращения общего вида –это поверхности, образованные произвольной линией (образующей l) при ее вращении вокруг неподвижной оси (оси поверхности i).

При задании поверхности вращения на комплексном чертеже ось вращения i располагают перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Элементы поверхности: m – главный меридиан, 1 – горло, 2 – экватор
(рис. 7.4, а ). В этом случае все параллели поверхности, горло 1 и экватор 2 проецируются на П 1 в истинную величину, а на П 2 – в отрезки прямых, перпендикулярные i 2 – проекции оси i. Для задания поверхности вращения общего вида на комплексном чертеже строят проекции главного меридиана m 1 и m 2 , проводят проекции горла, экватора и двух параллелей (7.5, б ).

Свойства поверхностей вращения.

1. Вращаясь вокруг своей оси, поверхность может сдвигаться без деформации вдоль самой себя.

2. Если меридиан поверхности вращения проходит через две точки поверхности, то он является кратчайшей линией между этими точками и все меридианы равны между собой.

3. Каждая из параллелей поверхности вращения пересекает меридиан под прямым углом, т. е. параллели и меридианы образуют прямоугольную сеть на поверхности вращения.

4. Поверхность вращения можно задать кривой, если эта кривая пересекает все ходы точек образующей линии.

Линейчатые развертываемые поверхности вращения. Линейчатые развертываемые поверхности вращения – это поверхности, образованные вращением прямолинейной образующей l вокруг неподвижной оси поверхности I по кривой или ломаной направляющей m, развертки которых можно совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К наиболее распространенным линейчатым развертываемым поверхностям вращения относятся: цилиндр вращения, конус вращения, однополостный гиперболоид (табл. 7.1).

Поверхностью называют множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим , представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющей собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие m можно поменять местами, но при этом поверхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси i, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется перемещением окружности m с центром в точке O, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси i.

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от образующей формы все поверхности можно разделить на линейчатые , у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые , у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности .

Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86).

При проецировании поверхности Ω на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m 1 и m 2 .