Определение вероятности события. Основное понятие теории вероятности

1. Изложение основных теорем и формул вероятностей: теорема сложения, условная вероятность, теорема умножения, независимость событий, формула полной вероятности.

Цели: создание благоприятных условий для введения понятия вероятности события; знакомство с основными теоремами и формулами теории вероятностей; ввести формулу полной вероятности.

Ход занятия:

Случайным экспериментом (опытом) называют процесс, при котором возможны различные исходы, причем заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Возможные исключающие друг друга исходы опыта называются его элементарными событиями . Множество элементарных событий обозначим через W.

Случайным событием называется событие, о котором нельзя заранее сказать, произойдет оно в результате опыта или нет. Каждому случайному событию А, происшедшему в результате опыта, можно поставить в соответствие группу элементарных событий из W. Элементарные события, входящие в состав этой группы, называют благоприятствующими появлению события А.

Множество W также можно рассматривать как случайное событие. Поскольку оно включает все элементарные события, то обязательно произойдет в результате опыта. Такое событие называют достоверным .

Если для данного события нет благоприятствующих элементарных событий из W, то и результате опыта оно произойти не может. Такое событие называют невозможным.

События называют равновозможными , если в результате испытания обеспечиваются равные возможности осуществления этих событий. Два случайных события называются противоположными , если в результате проведения опыта одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают .

События А и В называют несовместными , если появление одного из них исключает появление другого. События А 1 , А 2 , ..., А n называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События А 1 , А 2 , ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий , если в результате испытания обязательно произойдет одно и только одно из них.

Суммой (объединением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие С, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А 1 , А 2 , ..., А n Сумма событий обозначается следующим образом:

C = A 1 +A 2 +…+A n .

Произведением (пересечением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие П, которое состоит в том, что одновременно произошли все события А 1 , А 2 , ..., А n . Произведение событий обозначается

Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадений цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае частотой случайного события А при проведении серии опытов называют отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов:

где Р*(А) - частота события А; m - число опытов, в которых произошло событие А; n - общее число опытов.

Вероятностью случайного события А называют постоянное число, около которого группируются частоты данного события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события ). Вероятность случайного события обозначают Р(А).

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и необходимости. Практически за вероятность можно принять частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивается в 0,515.

Если при испытании нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появилось бы чаще других (равновозможные события ), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадения герба (событие А). разными экспериментаторами при нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к 0,5. учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А)=Р(В)=0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.

Пусть рассматриваемое событие А происходит в m случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных n-m, неблагоприятствующих А.

Тогда вероятность события А равна отношению количества благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу (классическое определение вероятности события ):

где m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; n - Общее количество элементарных событий.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1: В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что наугад выбранный шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: m = 10. общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равна полному числу шаров в урне: n = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. Р(А) = 10/40 = 0,25

Пример №2: найти вероятность выпадения четного числа при бросании игральной кости.

При бросании кости реализуется шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры:1,2,3,4,5 или 6, т.е. n = 6. благоприятствующими случаями являются выпадение одной из цифр 2,4 или 6: m = 3. искомая вероятность Р(А) = m/N = 3/6 = ½.

Как видим из определения вероятности события, для всех событий

0 < Р(А) < 1.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В)=Р(А) + Р(В).

Пример №3: найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.

Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

Пример №4: в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Р(А) + Р() = 1

В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А 1 , Р(А 1) = 7/10. Противоположным событием 1 является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( 1) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р() = 7/10 +3/10 = 1.

Если события А 1 , А 2 , ..., А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей . Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.

Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20

Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности , т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).

Теория вероятностей изучает виды событий и вероятности их появления. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы определять вероятность появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

• достоверные события;
• невозможные события;
• случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

• несовместными;
• совместными.

События A, B, C … называют несовместными , если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными . Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий .

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны , то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

• будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
• будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
• будут решены обе задачи;
• не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий .

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными , если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Классическая и статистическая вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N , которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А :

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p , не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А .

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B - выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A - вытянут белый шар. Событие B - вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу (советую повторить).

Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто)). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного важной и простой теории:

несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».

Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:

1. Перегорает первая и перегорает вторя
2. Перегорает первая и не перегорает вторая
3. Не перегорает первая и перегорает вторая
4. Не перегорает первая и перегорает вторая.

Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим...

Определение: События называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события.

О сумме вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.

Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:

Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.

*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:

Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:

Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).

Например:

Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.

События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.

Рассмотрим задачи:

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.

Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1

*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1. «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049

2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651

3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Ниже приведены основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события на основании известных вероятностей составляющих его более простых событий.

1. Вероятность достоверного события равна единице:

2. Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Эти два равенства являются аксиомами теории вероятностей, т. е. принимаются в качестве исходных, но требующих доказательства свойств вероятностей. На их основе строится вся теория вероятностей.

Все остальные, приведенные ниже без доказательств формулы могут быть выведены из принятых аксиом.

3. Вероятность невозможного события равна нулю:

4. Вероятность события, противоположного событию А, равна

(4.5)

Формула (4.5) оказывается полезной на практике в тех случаях, когда вычисление вероятности непосредственно события А затруднительно, в то время как вероятность противоположного события находится просто (см. ниже п.9 ).

5. Теорема сложения вероятностей . Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения событий:

Для несовместных событий и формула (4.6) переходит в (4.3).

6. Условная вероятность. Если требуется найти вероятность события В при условии, что произошло некоторое другое событие А , то такую ситуацию характеризуют с помощью условной вероятности. Условная вероятность равна отношению вероятности произведения событийА и В к вероятности события А :

(4.7)

В тех случаях, когда события А и В несовместны, и соответственно.

7. Определение условной вероятности в виде (4.7) дает возможность записать следующую формулу для вычисления вероятности произведения событий (теорема умножения вероятностей )

8. Поскольку вероятность события А (или В ) для независимых событий по определению не изменяется при появлении другого события, то условная вероятность совпадает с вероятностью событияА , а условная вероятность - сР(В) . Вероятности Р(А) и Р(В ) в отличие от условных вероятностей называются безусловными.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий записывается следующим образом:

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

9. Вычислим вероятность появления хотя бы одного события в n испытаниях

А – появление в n испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события.

– интересующее нас событие не появлилось в n испытаниях ни разу .

А 1 – интересующее нас событие появлилось в первом испытании.

А 2 – интересующее нас событие появлилось во втором испытании.

А n – интересующее нас событие появлилось в n -ом испытании.

10. Формула полной вероятности .

Если событие А может произойти только при появлении одного из несовместных событий Н 1 , Н 2 , …, Н n , то

Пример 4.3

В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В 1 – появление белого шара, а В 2 – черного. Тогда, А=В 1 +В 2 Р(А)=Р(В 1 +В 2 ) . Так как В 1 и В 2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий (формула 4.3)Р(В 1 +В 2 ) = Р(В 1 )+Р(В 2 ) .

Вычислим вероятности событий В 1 и В 2 . В этом примере имеется 35 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, событию В 1 (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому . Аналогично,. Следовательно,.

Пример 4.4

Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Решение. Пусть событие А – “обнаружен хотя бы один преступник”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В 1 В 2 – обнаружен второй преступник. Тогда, А=В 1 +В 2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В 1 +В 2 ) . Так как В 1 и В 2 – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий (формула 4.6)

Р(В 1 +В 2 ) = Р(В 1 )+Р(В 2 )-Р(В 1 В 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

Можно решать и через обратное событие: .

Пример 4.5 а)

Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 сек. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 сек.

Решение. Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD Р(А)=Р(ВСD) . По теореме о вероятности произведения независимых событий (формула 4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(D) .

Вычислим вероятности событий В, C и D . В этом примере имеется 3 равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий В, C и D благоприятствует 1 из них, поэтому ..

Пример 4.5 б)

Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А – “открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD) . Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC) .

Вычислим вероятности: ,(ключа осталось только два и один из них подходит!),и, значит,.

Пример 4.6

Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника.

Решение. Пусть событие А – “обнаружены два преступника”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В 1 – обнаружен первый преступник, а В 2 – обнаружен второй преступник, после того, как пойман первый. Тогда, А=В 1 В 2 по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(В 1 В 2 ) . Так как В 1 и В 2 – зависимые события, то по теореме о вероятности произведения зависимых событий (формула 4.8) Р(В 1 В 2 ) = Р(В 1 )Р(В 2 /В 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

Пример 4.7

Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 10 раз герб выпадет хотя бы 1 раз.

Решение. Пусть событие А – “герб выпадет хотя бы 1 раз”. Рассмотрим обратное событие: – “герб не выпадетни разу ”. Очевидно, что обратное событие легче чем исходное разбить на более простые. Пусть А 1 – герб не выпал при первом броске, А 2 – герб не выпал при втором броске, … А 10 – герб не выпал при 10-м броске. Все события А 1 …А 10 независимы, следовательно, (формула 4.11)

Пример 4.8

В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 – 0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть событие А – “преступник поражен”. Разобьем это событие на более простые. Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н 1 ) равна 10/30. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н 2 ) равна 20/30.

Вероятность того, что преступник поражен равна (формула 4.12)

В подобных задачах полезно изобразить дерево всех возможных исходов (с указанием вероятностей каждого исхода).

Различные определения вероятности случайного события

Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

Классическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.

Где

Число благоприятных исходов опыта;

Общее числоисходов опыта.

Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:

, где

Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке

Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .

Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:

Для несовместных событий и

Итак,