Непрерывные случайные величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.

Ответы

P (-1/2<X <1/2)=2/3.

P (2π /9<Х < π /2)=1/2.

5.3. а) с =1/6, б) М (Х )=3 , в) D (X )=26/81.

5.4. а) с =3/2, б) М (Х )=3/5, в) D (X )=12/175.

б) M (X )= 3 , D (X )= 2/9, σ(Х )= /3.

б) M (X )=2 , D (X )= 3 , σ(Х )= 1,893.

5.7. а) с = ; б)

5.8. а) с =1/2; б)

5.9. а)1/4; б) 0.

5.10. а)3/5; б) 1.

5.11. а) с = 2; б) М (Х )= 2; в) 1-ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М (Х )= π /2 ; б) 1/2

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).

Решение: Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:

Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F (x ) = A + Be - x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х .

Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х , должно выполняться свойство:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).

Решение: Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:

Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х

Х :

Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.

Составим закон распределения вероятностей СВ Х :

Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F 1 (t ) =1-e - 0,1 t , для второго: F 2 (t ) = 1-e - 0,2 t , для третьего: F 3 (t ) =1-e - 0,3 t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.

Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:

Составим производящую функцию:

Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.

Пример 2.7. Дана плотность вероятности f (x )случайной величины X :

Найти функцию распределения F(x).

Решение: Используем формулу:

.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:

Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х :

Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х

где -- число деталей в партии;

-- число стандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число стандартных деталей среди отобранных.

.

.

.

Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения

причем и не известны, но , а и . Найдите и .

Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b ]. Числовые характеристики X :

Следовательно, . Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: .

Ответ: .

Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

.

Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.

Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:

.

Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:

Ответ: , .

Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.

Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число роз;

-- число белых роз;

– число одновременно взятых роз;

-- число белых роз среди взятых.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

где -- число собранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;

– число выбранных агрегатов;

-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.

.

.

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.

Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:

.

.

.

.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой:

Теперь вычислим числовые характеристики величины :

Ответ: , .

Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.

Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .

Составим ряд распределения случайной величины:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:

Ответ: , .

Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.

Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.

Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:

Находим: .

Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:

,

где - число партий;

Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.

Вероятность найдем по формуле Бернулли:

Ответ: .

Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.

Решение: Задачу можно решить двумя способами.

1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:

, , .

Тогда закон распределения X имеет вид:

Из определения математического ожидания определим вероятность :

Найдем дисперсию СВ X :

.

2) Можно использовать формулу:

.

Ответ: .

Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:

Пример 2.21. Дана функция:

При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .

Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно:

Вычислим математическое ожидание по формуле:

.

Вычислим дисперсию по формуле:

T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:

.

Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.

Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.

Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: . .

Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.

Решение: В этом примере математическое ожидание , а интенсивность отказов равна .

Тогда искомая вероятность:

Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?

Решение:

Пример 2.31.

Тогда согласно классическому определению вероятности:

где -- число деталей в партии;

-- число нестандартных деталей в партии;

– число отобранных деталей;

-- число нестандартных деталей среди отобранных.

Тогда закон распределения случайной величины будет такой.

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

.

Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

для , то

при ;

при ;

при ;

при ;

Соответствующий график:

Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсии. Напишем закон распределения :

Найдём математическое ожидание
:

Найдём дисперсию
:

Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:

Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.

Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.

Последовательность независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , …, Х n , … задана законом распределения

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

учитывай, что M(X n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)

Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х 2 /2 х-1 .

Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х 1 =0 и х 2 =ln 2.

Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х 2 =2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.

При n=2 дисперсия D(X 2)=2α 2 , при n=3 дисперсия D(Х 3)=9/4α 2 . Очевидно,

(9/4)α 2 > 2α 2 .

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α 2 , т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α 2 .

Последовательность независимых случайных величин X 1 , X 2 , …, X n , … задана законом распределения

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.

Поскольку случайные величины Х n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Легко найти, что M(X n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.

Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

учитывай, что M(X n)=0, найдем

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х n равномерно ограничены числом 2.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределена F(x)=1/2+(arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a

Р(0< Х <1) = F(1)-F(0) = x =1 - x =0 = 1/4

Случайная величина Х функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a

Р(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = x =-1 – x =1 = 1/3.

Функция распределения непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(х)=1-е -х/ T (х≥0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время х≥Т.

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале x≥T, равна приращению функции распределения на этом интервале: P(0

P(x≥T) = 1 - P(T

Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньшее 0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

а) Так как при х≤2 функция F(х)=0, то F(0, 2)=0, т.е. P(х < 0, 2)=0;

б) Р(Х < 3) = F(3) = x =3 = 1.5-1 = 0.5;

в) события Х≥3 и Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Случайная величина Х задана функцией распределния

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a

P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Следовательно, , или Отсюда , или.

Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная X в результате испытания примет значение большее

Решение. События и - противоложные, поэтому . Следовательно, . Так как , то .

По определению функции распределения, .

Следовательно, , или . Отсюда , или.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная не существует.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Воспользуемся формулой . По условию ,и . Следовательно, искомая вероятность

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Воспользуемся формулой . По условию ,и . Следовательно, искомая вероятность

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

Воспользуемся формулой Р(a

Р(0

Ответ: π+24π.

fx=0, при x≤0cosx, при 0

Используем формулу

Если х ≤0, то f(x)=0, следовательно,

F(x)=-∞00dx=0.

Если 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Если x≥ π2 , то

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Итак, искомая функция распределения

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Найти функцию распределения F(x).

Используем формулу

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равеством . Найти постоянный параметр С.

.

. (*)

.

Таким образом,

Плотность распределения непрерывной случайной величины задана на всей оси равенством Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию . Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

.

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

.

Затем вычислим несобственный интеграл:

Таким образом,

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале равна ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

.

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале равенством ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , но так как f(x) вне интервала равна 0 достаточно, чтобы она удовлетворяла: Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

.

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, получим

Ответ: 2/3.

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = (1/2)x в интервале (0;2); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, получим

М (Х) = = 4/3

Ответ: 4/3.

Случайная величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения

ƒ(x) = ; вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = –с, b = c, ƒ(x) = , получим

Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю. Следовательно, М(Х) = 0.

Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0.

Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана плотностью распределения f(x)=

. Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=3, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана плотностью распределения f(x)=; вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Представим плотность распределения в виде . Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=4, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (-1, 1) задана плотностью распределения ; вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду; б) медиану Х.