Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Теорема о совокупности первообразных. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , на заданном промежутке, если на этом промежутке функция F(x) непрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство: F’(x) = f(x)

Теорема 1 . Если функция F(x) имеет на промежутке первообразную F(x), то и все функции вида F(x)+C будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная Ф(x) для функции y = f(x) может быть представлена в виде Ф(x) = F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных функций, а C - произвольная постоянная.

Доказательство:

По определению первообразной имеем F’(x) = f(x). Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем

(F(x)+C)’ = F’(x)+C’ = F’(x) = f(x). Это и означает, что F(x)+C является первообразной для y = f(x).Покажем теперь, что если функция y = f(x) задана на некотором промежутке и F(x) - одна из ее первообразных, то Ф(x) может быть представлена в виде

В самом деле, по определению первообразной имеем

Ф’(x) = F(x)+C и F’(x) = f(x).

Но две функции, имеющие на промежутке равные производные, отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Значит, Ф(x) = F(x)+C, что и требовалось доказать.

Определение.

Совокупность всех первообразных для функции y = f(x) на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается ∫f(x)dx = F(x)+C

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а произведение f(x)*dx - подынтегральным выражением.

Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции,

Свойства неопределенного интеграла

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Таблица интегралов

Интегрирование подстановкой и по частям в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводащимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует.

Пусть тpебyетcя вычислить интеграл ∫f(x)dx. Сделаем подстановку х =φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ"(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопpeделeннoгo интеграла получаем формулу интегриpoвaния подcтaнoвкoй ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ’(t)dt Эта формула также называется формулой замены переменных в неопределeннoм интеграле. Пoслe нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u dv+v du.

Интегрируя это равенство, получим ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu или

∫udv =uv - ∫vdu

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла ∫udv к вычислению интеграла ∫vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла
к вычислению интеграла
, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида
,
,
, где
– многочлен,
– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен

.

2. Интегралы вида
,
,
,
,
, где
– многочлен.

В этом случае через
обозначают
, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида
,
, где
– числа.

В этом случае через обозначают
и применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.

Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.

Пример 26.

Найти интегралы методом по частям: а)
; б)
.

Решение.

б)

3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:
, где
– многочлен степени
,
– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной , если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е.
, в противном случае (если
) рациональная дробь называется неправильной .

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где
– целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ;

II.
;

III.
;

IV.
,

где ,,
,
,,,
– действительные числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов .

Интегрирование простейших дробей

Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.

I)
.

II) ,
.

III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду
, так как
, что также дает табличный интеграл.

;

IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену
. Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой
, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.

Найти интегралы от простейших дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:

соответствует одна дробь вида;

– каждому множителю знаменателя
соответствует сумма дробей вида

соответствует дробь вида
;

– каждому квадратному множителю знаменателя
соответствует суммадробей вида

где – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.

Метод частных значений.

Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.

После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:

1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.

Найти интегралы от рациональных дробей:

а)
; б)
; в)
.

Решение.

а)
.

Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.

Исходный интеграл примет вид:
.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:

, получаем:

Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.

Тогда искомое разложение имеет вид:
.

=
.

б)
.

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

.

в)
.

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:

;
;

;
;

;
.

Тогда искомое разложение имеет вид:

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

Неопределенный интеграл

1Первообразная и неопределенный интеграл 1

2Простейшие свойства неопределенного интеграла. 3

Таблица основных интегралов 3

2.1Дополнительная таблица интегралов 4

3Замена переменной в неопределённом интеграле 5

3.1Метод интегрирования функций вида и (a≠ 0). 6

4Интегрирование по частям в неопределённом интеграле 7

4.1Метод интегрирования функций вида. 7

4.2Метод интегрирования функций вида: 8

5Интегрирование рациональных дробей 8

5.1Метод интегрирования простейших дробей 4 типа. 11

6Интегрирование иррациональных выражений 12

6.1Интегрирование тригонометрических выражений 14

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Решаем дифференциальное уравнение

на интервале , т.е. находим такую функцию , что . Так как , то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:

Любое решение такого уравнения называется первообразной функции . Итак, функция называется первообразной функции на интервале , если для всех . Случаи и/или не исключаются. Ясно, что если первообразная, то и также первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменных называется общим решением уравнения (1) или, по-другому, неопределенным интегралом функции , если при подстановке вместо любого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.

Неопределённый интеграл обозначается . Функция называется подинтегральной, дифференциал называется подинтегральным выражением, а -- знак интеграла (растянутая латинская буква S, первая буква слова Sum – сумма). Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный интеграл», § Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной функции всегда существует.

Лемма. Пусть тождественно для всех . Тогда -- константа на этом интервале.

Доказательство. Обозначим для какой-либо точки . Возьмём произвольную точку и к разности применим теорему Лагранжа: для некоторой точки . Отсюда и лемма доказана.□

Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.

Доказательство. Пусть и -- первообразные функции . Тогда откуда, по лемме -- константа. Следовательно, . □

Следствие. Если -- первообразная функции , то .

Заметим, что если в качестве ОДЗ функции взять не интервал, а, например, такое несвязное множество как объединение двух интервалов , то любая функция вида

имеет нулевую производную, и тем самым лемма и теорема о первообразных перестает быть верной в этом случае.

1. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

2. Константу можно выносить за знак интеграла:

3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.

4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.

5. (Линейная замена переменных) Если , то (здесь ).

Таблица основных интегралов

В частности,

Для исключительного случая имеем:

1. Дополнительная таблица интегралов

1. Замена переменной в неопределённом интеграле

Определение неопределенного интеграла распространим на более общий случай: полагаем по определению . Таким образом, например

Теорема. Пусть -- дифференцируемая функция. Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

что и требовалось доказать.□

В частном случае, когда получаем линейную замену переменных (см. свойство 5, §1). Применение формулы (1) "слева на право" и будет означать замену переменной. Применение формулы (1) в обратном направлении, "справа налево" называется занесением под знак дифференциала.

Примеры. А.

1. Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:

3. Для вычисления первого интеграла в (2) применяем занесение под знак дифференциала:

Для вычисления второго интеграла выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат и линейной заменой переменных сводим его к табличному.

Таким же методом вычисляются и интегралы вида

Примеры

1. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Теорема. Для дифференцируемых функций и имеет место соотношение

Доказательство. Интегрируя левую и правую часть формулы , получаем:

Так как по определению и , то формула (1) следует.□

Пример.

Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.

Пример.

1. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция вида , где – многочлены. Если , то рациональную дробь называют правильной . В противном случае ее называют неправильной .

Следующие рациональные дроби называют простейшими

(2 тип)

(3 тип)

(4 тип) ,

Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Доказательство. Пусть – неправильная рациональная дробь. Поделим числитель на знаменатель с остатком: Здесь -- многочлены, причем Тогда

Дробь правильная в силу неравенства . □

Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.

Алгоритм разложения.

а) Знаменатель правильной дроби раскладываем в произведение неприводимых многочленов (линейных и квадратичных с отрицательным дискриминантом):

Здесь и -- кратности соответствующих корней.

б) Раскладываем дробь в сумму простейших с неопределенными коэффициентами по следующим принципам:

Так мы поступаем для каждого линейного множителя и для каждого квадратичного множителя.

в) Получившееся разложение умножаем на общий знаменатель , и неопределенные коэффициенты отыскиваем из условия тождественности левой и правой части. Действуем комбинацией двух методов

??? – обоснование алгоритма

Примеры. А. Разложим в сумму простейших

Отсюда следует, что . Подставляя в это соотношение находим сразу . Итак

Б. Разложим рациональную дробь в сумму простейших. Разложение этой дроби с неопределенными коэффициентами имеет вид

Умножая на общий знаменатель, получаем соотношение

Подставляя сюда , находим , откуда . Подставляя находим . Приравнивая коэффициенты при получаем систему

Отсюда и . Складывая равенства последней системы, получаем и . Тогда и

Следовательно,

/**/ Задача. Обобщить результат примера А и доказать равенство

1. Метод интегрирования простейших дробей 4 типа.

а) Выделяя в числителе производную знаменателя, разложим интеграл в сумму двух интегралов.

б) Первый из получившихся интегралов, после занесения под знак дифференциала, станет табличным.

в) Во втором в знаменателе выделяем полный квадрат и сводим вычисление к интегралу вида . К этому интегралу применяем следующую рекуррентную процедуру

К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям:

Итак, если обозначить , то

Это представляет собой рекуррентную формулу вычисления интегралов c учетом начального значения .

Пример

1. Интегрирование иррациональных выражений

Интегралы вида , где m/n,...,r/s -- рациональные числа с общим знаменателем k, сводятся к интегралу от рациональной функции заменой

Тогда суть рациональные выражения, следовательно, после подстановки, получается интеграл от рациональной дроби:

Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав обратную замену , получим ответ.

Аналогично, интегралы вида

где ad-bc≠ 0, а k имеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой

Примеры . А. Вычислим интеграл

Б. Вычислим интеграл

Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:

1. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции универсальной заменой

поэтому получаем интеграл от рационального выражения

В частных случаях  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx и R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx лучше пользоваться заменами соответственно.

В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой "формулы интегрирования по частям". Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных . В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части .

Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы : многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, - и разобраться с каждой частью по отдельности. Отсюда и название: "интегрирование по частям". Применение этого метода основано на следующей теореме:

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл $\int v \; du$. Тогда на этом же промежутке существует и интеграл $\int u \; dv$, при этом верно следущее равенство:

\begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation}

Формулу (1) и называют "формулой интегрирования по частям". Иногда, применяя вышеуказанную теорему, говорят о использовании "метода интегрирования по частям". Нам будет важна суть этого метода, которую и рассмотрим на примерах. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Именно эти случаи и станут темой данной страницы. Пусть $P_n(x)$ - многочлен n-й степени. Введём два правила:

Правило №1

Для интегралов вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ принимаем $dv=P_n(x)dx$.

Правило №2

Для интегралов вида $\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$ - некоторое положительное число), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n(x) sh x \;dx$ принимаем $u=P_n(x)$.

Сразу отмечу, что указанные выше записи не нужно воспринимать буквально. Например, в интегралах вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$ не обязательно будет стоять именно $\ln x$. Там могут быть расположены и $\ln 5x$, и $\ln (10x^2+14x-5)$. Т.е. запись $\ln x$ нужно воспринимать как своего рода обобщение.

Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в примерах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части .

Пример №1

Найти $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.

Под интегралом расположен многочлен $3x+4$ и тригонометрическая функция $\cos (2x-1)$. Это классический случай для применения формулы , поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула требует, чтобы интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ был представлен в форме $\int u \; dv$. Нам нужно выбрать выражения для $u$ и для $dv$. Можно в качестве $u$ принять $3x+4$, тогда $dv=\cos (2x-1)dx$. Можно взять $u=\cos (2x-1)$, тогда $dv=(3x+4)dx$. Чтобы сделать правильный выбор обратимся к . Заданный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ подпадает под вид $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (многочлен $P_n(x)$ в нашем интеграле имеет вид $3x+4$). Согласно нужно выбрать $u=P_n(x)$, т.е. в нашем случае $u=3x+4$. Так как $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.

Однако недостаточно просто выбрать $u$ и $dv$. Нам еще понадобятся значения $du$ и $v$. Так как $u=3x+4$, то:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$

Теперь разберёмся с функцией $v$. Так как $dv=\cos(2x-1)dx$, то согласно определению неопределённого интеграла имеем: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала :

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. $$

Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций $v$, которое описывает формула $\frac{\sin(2x-1)}{2}+C$. Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо $C$ подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить $C=0$, получив при этом $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$.

Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$. Подставляя всё это в правую часть формулы будем иметь:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. $$

Осталось, по сути, только найти $\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx$. Вынося константу (т.е. $\frac{3}{2}$) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала , получим:

$$ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Итак, $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$. В сокращенном виде процесс решения записывают так:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Неопределённый интеграл по частям найден, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$.

Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.

Почему мы приняли именно $u=3x+4$ и $dv=\cos(2x-1)dx$? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$ интеграл тоже был бы найден!

Нет, если принять $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$, то ничего хорошего с этого не выйдет, - интеграл не упростится. Судите сами: если $u=\cos(2x-1)$, то $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. Кроме того, так как $dv=(3x+4)dx$, то:

$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac{3x^2}{2}+4x+C.$$

Приняв $C=0$, получим $v=\frac{3x^2}{2}+4x$. Подставим теперь в формулу найденные значения $u$, $du$, $v$ и $dv$:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) - \int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) +2\cdot\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx $$

И к чему мы пришли? Мы пришли к интегралу $\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$, который явно сложнее нежели исходный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$. Это говорит о том, что выбор $u$ и $dv$ был сделан неудачно. После применения формулы интегрирования по частям полученный интеграл должен быть проще исходного. Находя неопределенный интеграл по частям мы должны упрощать его, а не усложнять, поэтому если после применения формулы (1) интеграл усложнился, то выбор $u$ и $dv$ осуществлён некорректно.

Пример №2

Найти $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$.

Под интегралом расположен многочлен (т.е. $3x^4+4x-1$) и $\ln 5x$. Этот случай подпадает под , поэтому возьмём интеграл по частям. Заданный интеграл имеет такую же структуру, как и интеграл $\int P_n(x) \ln x\; dx$. Вновь, как и в примере №1, нам нужно выбрать какую-то часть подынтегрального выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ в качестве $u$, а какую-то часть - в качестве $dv$. Согласно , нужно выбрать $dv=P_n(x)dx$, т.е. в нашем случае $dv=(3x^4+4x-1)dx$. Если из выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ "изьять" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то останется $\ln 5x$ - это и будет функция $u$. Итак, $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. Для применения формулы нам понадобятся также $du$ и $v$. Так как $u=\ln 5x$, то:

$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac{1}{5x}\cdot 5 dx=\frac{1}{x}dx. $$

Теперь найдём функцию $v$. Так как $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то:

$$ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C. $$

Из всего найденного бесконечного множества функций $\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C$ нам нужно выбрать одну. А проще всего это сделать приняв $C=0$, т.е. $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$. Для применения формулы всё готово. Подставим в правую часть указанной формулы значения $u=\ln 5x$, $du=\frac{1}{x}dx$, $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$ и $dv=(3x^4+4x-1)dx$ будем иметь:

$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\ln 5x; \; du=\frac{1}{x}dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x. \end{aligned} \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)-\int \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot \frac{1}{x}dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x -\int \left (\frac{3x^4}{5}+2x-1 \right)dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac{3x^5}{25}+x^2-x \right)+C=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C. $$

Ответ : $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C$.

Пример №3

Найти $\int \arccos x \; dx$.

Этот интеграл имеет структуру $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, подпадающую под . Понимаю, что сразу возникнет резонный вопрос: "а где в заданном интеграле $\int\arccos x \; dx$ спрятали многочлен $P_n(x)$? Там же нет никакого многочлена, только арккосинус и всё!". Однако на самом деле под интегралом расположен не только арккосинус. Я представлю интеграл $\int arccos x \; dx$ в таком виде: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. Согласитесь, что от домножения на единицу подынтегральное выражение не изменится. Вот эта единица и есть $P_n(x)$. Т.е. $dv=1\cdot dx=dx$. А в качестве $u$ (согласно ) принимаем $\arccos x$, т.е. $u=\arccos x$. Значения $du$ и $v$, кои учавствуют в формуле , найдём так же, как и в предыдущих примерах:

$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. $$

Как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$ получим $v=x$. Подставляя все найденные параметры в формулу , будем иметь следующее:

$$ \int \arccos x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\arccos x; \; du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \right)= \arccos x \cdot x+\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\int (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C. $$

Ответ : $\int\arccos x \; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$.

Пример №4

Найти $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$.

В этом примере формулу интегрирования по частям придётся применять два раза. Интеграл $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$ имеет структуру $\int P_n(x) a^x \;dx$. В нашем случае $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. Согласно имеем: $u=3x^2+x$. Соответственно, $dv=e^{7x}dx$.

$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\\ v=\int e^{7x}\;dx=\frac{1}{7}\cdot \int e^{7x}\;d(7x)=\frac{1}{7}\cdot e^{7x}+C=\frac{e^{7x}}{7}+C. $$

Опять-таки, как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$, имеем: $v=\frac{e^{7x}}{7}$.

$$ \int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac{e^{7x}}{7}-\int \frac{e^{7x}}{7}\cdot (6x+1)dx= \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx. $$

Мы пришли к интегралу $\int (6x+1) e^{7x}\;dx$, который вновь необходимо брать по частям. Приняв $u=6x+1$ и $dv=e^{7x}dx$ будем иметь:

$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx=\left | \begin{aligned} & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \left ((6x+1)\cdot\frac{e^{7x}}{7} - \int\frac{e^{7x}}{7}\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\int\ e^{7x}\;dx=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\frac{e^{7x}}{7}+C=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C. $$

Полученный ответ можно и упростить, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые:

$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C. $$

Ответ : $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C$.

Пример №5

Найти $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx$.

Здесь, как и в предыдущем примере, интегрирование по частям применяется дважды. Подробные пояснения были даны ранее, поэтому приведу только решение:

$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac{\cos(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)-\int\left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin{aligned} & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac{\sin(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\cdot \left(x\cdot\frac{\sin(3x+1)}{3}-\int\frac{\sin(3x+1)}{3}dx \right)=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot\int\sin(3x+1)dx=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3}\right)+C=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3}-\frac{5\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C. $$

Ответ : $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C$.

Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во

Что такое интегрирование по частям? Чтобы освоить этот вид интегрирования, давайте для начала вспомним производную произведения:

${{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}"\cdot g+f\cdot {g}"$

Спрашивается: ну и при чем тут интегралы? А давайте теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Так и запишем:

$\int{{{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}\text{d}x=}\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

Но что такое первообразная от штриха? Это просто сама функция, которая стоит внутри штриха. Так и запишем:

$f\cdot g=\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

В данном уравнении предлагаю выразить слагаемое. Имеем:

$\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x=f\cdot g-\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$

Это и есть формула интегрирования по частям . Таким образом, мы, по сути, меняем местами производную и функцию. Если изначально у нас был интеграл от штриха, умноженной на что-либо, то затем получается интеграл от нового чего-либо, умноженной на штрих. Вот и все правило. На первый взгляд данная формула может показаться сложной и бессмысленной, но, на самом деле, она может значительно упрощать вычисления. Сейчас посмотрим.

Примеры вычисления интегралов

Задача 1. Вычислите:

\[\int{\ln x\,\text{d}x}\]\[\]

Перепишем выражение, добавив перед логарифмом 1:

\[\int{\ln x\,\text{d}x}=\int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}\]

Мы имеем право сделать это, потому что ни число, ни функция не изменятся. Теперь сравним это выражение с тем, что у нас написано в формуле. В роли ${f}"$ выступает 1, так и запишем:

$\begin{align}& {f}"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow {g}"=\frac{1}{x} \\\end{align}$

Все эти функции есть в таблицах. Теперь, когда мы расписали все элементы, которые входят в наше выражение, перепишем данный интеграл по формуле интегрирования по частям:

\[\begin{align}& \int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}=x\ln x-\int{x\cdot \frac{1}{x}\text{d}x}=x\ln x-\int{\text{d}x}= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\end{align}\]

Все, интеграл найден.

Задача 2. Вычислите:

$\int{x{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x=\int{x\cdot {{e}^{-x}}\,\text{d}x}}$

Если в роли производной, от которой нам нужно будет сейчас найти первообразную, мы возьмем $x$, то получим${{x}^{2}}$, и итоговое выражение будет содержать ${{x}^{2}}{{\text{e}}^{-x}}$.

Очевидно, задача не упрощается, поэтому мы поменяем местами множители под знаком интеграла:

$\int{x\cdot {{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=\int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}$

А вот теперь вводим обозначения:

${f}"={{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow f=\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}$

Дифференцируем ${{\text{e}}^{-x}}$:

${{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\cdot {{\left(-x \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}$

Другими словами, сначала добавляется «минус», а затем обе стороны интегрируются:

\[\begin{align}& {{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow {{\text{e}}^{-x}}=-{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }} \\& \int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-\int{{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}+C \\\end{align}\]

Теперь разберёмся с функцией$g$:

$g=x\Rightarrow {g}"=1$

Считаем интеграл:

$\begin{align}& \int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}=x\cdot \left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)-\int{\left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)\cdot 1\cdot \text{d}x}= \\& =-x{{\text{e}}^{-x}}+\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-x{{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{-x}}+C=-{{\text{e}}^{-x}}\left(x+1 \right)+C \\\end{align}$

Итак, мы выполнили второе интегрирование по частям.

Задача 3. Вычислите:

$\int{x\cos 3x\,\text{d}x}$

Что в этом случае брать за${f}"$ , а что за$g$? Если в роли производной будет выступать$x$ , то при интегрировании возникнет$\frac{{{x}^{2}}}{2}$, и никуда у нас первый множитель не пропадет — будет $\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \cos 3x$. Поэтому опять поменяем множители местами:

$\begin{align}& \int{x\cos 3x\,\text{d}x}=\int{\cos 3x\cdot x\,\text{d}x} \\& {f}"=\cos 3x\Rightarrow f=\int{\cos 3x\,\text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3} \\& g=x\Rightarrow {g}"=1 \\\end{align}$

Переписываем наше исходное выражение и раскладываем его по формуле интегрирования по частям:

\[\begin{align}& \int{\cos 3x\cdot x\ \text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3}\cdot x-\int{\frac{\sin 3x}{3}\text{d}x}= \\& =\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int{\sin 3x\,\text{d}x}=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}+C \\\end{align}\]

Все, третья задача решена.

В заключение еще раз взглянем на формулу интегрирования по частям . Как мы выбираем, какой из множителей будет производной, а какой будет настоящей функцией? Критерий здесь всего один: элемент, который мы будем дифференцировать, должен давать либо «красивое» выражение, которое потом сократится, либо при дифференцировании вообще исчезать. На этом урок закончен.