Аниме, комиксы

Теорема бернулли дифференциальные уравнения примеры. Уравнения бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли - это уравнение вида:
, где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q - функции от x .

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q - функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v - функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1) :
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) - это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x) . Подставляем частное решение в (3) . Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4) , то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v - уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .

Пример решения дифференциального уравнения Бернулли

Решить уравнение

Решение

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим и умножим на :
;
;
(П.1) .
Это - уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1) , только обозначением переменных (x вместо y ). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v - функции от y . Дифференцируем по y :
.
Подставим в (П.1) :
;
(П.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y) , удовлетворяющую уравнению:
(П.3) .
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0 , поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3) .
;
.
Подставим в (П.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3) ):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0 имеем:
;
(П.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

в линейное уравнение

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

3) Подставляем во (II) =0 и

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

Интегрируем:

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

А так как

Сделаем С=-С:

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

Это — уравнение Бернулли,

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, подставляем:

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

Примеры для самопроверки:

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

2) Группируем слагаемые с v:

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

Интегрируем обе части уравнения:

3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:

Интегрируем обе части получившегося уравнения.

Очень многое из окружающего нас мира подчиняется законам физики. Этому не стоит удивляться, ведь термин «физика» происходит от греческого слова, в переводе означающего «природа». И одним из таких законов, постоянно работающих вокруг нас, является закон Бернулли.

Сам по себе закон выступает как следствие принципа сохранения энергии. Такая его трактовка позволяет придать новое понимание многим ранее хорошо известным явлениям. Для понимания сути закона просто достаточно вспомнить протекающий ручеек. Вот он течет, бежит между камней, веток и корней. В каких-то местах делается шире, где-то уже. Можно заметить, что там, где ручеек шире, вода течет медленнее, где уже, вода течет быстрее. Вот это и есть принцип Бернулли, который устанавливает зависимость между давлением в потоке жидкости и скоростью движения такого потока.

Правда, учебники физики его формулируют несколько по-другому, и имеет он отношение к гидродинамике, а не к протекающему ручью. В достаточно популярном Бернулли можно изложить в таком варианте - давление жидкости, протекающей в трубе, выше там, где скорость ее движения меньше, и наоборот: там, где скорость больше, давление меньше.

Для подтверждения достаточно провести простейший опыт. Надо взять лист бумаги и подуть вдоль него. Бумага поднимется вверх, в ту сторону, вдоль которой проходит поток воздуха.

Все очень просто. Как говорит закон Бернулли, там, где скорость выше, давление меньше. Значит, вдоль поверхности листа, где проходит поток меньше, а снизу листа, где потока воздуха нет, давление больше. Вот лист и поднимается в ту сторону, где давление меньше, т.е. туда, где проходит поток воздуха.

Описанный эффект находит широкое применение в быту и в технике. Как пример можно рассмотреть краскопульт или аэрограф. В них используются две трубки, одна большего сечения, другая меньшего. Та, которая большего диаметра, присоединена к емкости с краской, по той, что меньшего сечения, проходит с большой скоростью воздух. Благодаря возникающей разности давлений краска попадает в поток воздуха и переносится этим потоком на поверхность, которая должна быть окрашена.

По этому же принципу может работать и насос. Фактически то, что описано выше, и есть насос.

Не менее интересно выглядит закон Бернулли в применении для осушения болот. Как всегда, все очень просто. Заболоченная местность соединяется канавами с рекой. Течение в реке есть, в болоте нет. Опять возникает разность давлений, и река начинает высасывать воду из заболоченной местности. Происходит в чистом виде демонстрация работы закона физики.

Воздействие этого эффекта может носить и разрушительный характер. Например, если два корабля пройдут близко друг от друга, то скорость движения воды между ними будет выше, чем с другой стороны. В результате возникнет дополнительная сила, которая притянет корабли друг к другу, и катастрофа будет неизбежна.

Можно все сказанное изложить в виде формул, но уравнения Бернулли писать совсем не обязательно для понимания физической сути этого явления.

Для лучшего понимания приведем еще один пример использования описываемого закона. Все представляют себе ракету. В специальной камере происходит сгорание топлива, и образуется реактивная струя. Для ее ускорения используется специально суженный участок - сопло. Здесь происходит ускорение струи газов и вследствие этого - рост

Существует еще множество различных вариантов использования закона Бернулли в технике, но все их рассмотреть в рамках настоящей статьи просто невозможно.

Итак, сформулирован закон Бернулли, дано объяснение физической сущности происходящих процессов, на примерах из природы и техники показаны возможные варианты применения этого закона.

Как закон Всемирного Тяготения Ньютона действовал задолго до самого Ньютона, так и уравнение Бернулли существовало задолго до того, как родился сам Бернулли. Ему удалось лишь облечь это уравнение в наглядную форму, в чем его неоспоримая и огромная заслуга. Зачем мне уравнение Бернулли, спросите Вы, ведь я прекрасно жил и без него. Да, но оно может пригодиться Вам хотя бы на экзамене по гидравлике! Как говорится, «все не так уж плохо, если ты знаешь и можешь сформулировать уравнение Бернулли».

Кто такой Бернулли?

Даниил Бернулли – сын известного ученого Якоба Бернулли, швейцарский математик и физик. Жил с 1700 по 1782 годы, а с 1725 по 1733 трудился в Петербургской Академии наук. Помимо физики и математики Бернулли также изучал медицину наряду с Д’Аламбером и Эйлером считается отцом основателем математической физики. Успехи этого человека позволяют с уверенностью сказать, что это был настоящий «супермозг».

Д. Бернулли (1700-1782)

Идеальная жидкость и течение идеальной жидкости

Помимо известной нам материальной точки и идеального газа существует также идеальная жидкость . Какой-нибудь студент, конечно, может подумать, что эта жидкость – его любимое пиво или кофе, без которого невозможно жить. Но нет, идеальная жидкость – это жидкость, которая абсолютно несжимаема, лишена вязкости и теплопроводности. Тем не менее, такая идеализация дает вполне хорошее описание движения реальных жидкостей в гидродинамике.

Течением жидкости называется движение ее слоев относительно друг друга или относительно всей жидкости.

Помимо того есть разные режимы течения жидкости. Нас интересует тот случай, когда скорость потока в какой-то конкретной точке не меняется со временем. Такой поток называют стационарным. При этом скорость течения в различных точках стационарного потока может различаться.

– совокупность частиц движущейся жидкости.

Вывод уравнения Бернулли

Но как описать движение жидкости? Для этого нам нужно знать вектор скорости частиц, точнее зависимость его от времени. Совокупность скоростей в разных точках потока дает поле вектора скорости.

Рассмотрим стационарное течение жидкости по трубке. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другой – S2. При стационарном потоке через оба сечения за одинаковый промежуток времени пройдет одинаковое количество жидкости.

Данное уравнение – уравнение неразрывности струи.

Узнав его, Бернулли решил установить связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях. Полное давление – это сумма статистического (обусловлено потенциальной энергией жидкости) и динамического давлений (обусловлено кинетической энергией). Оказывается, сумма статического и динамического давлений в любом сечении трубы постоянна. Само же уравнение Бернулли имеет вид:

Смысл уравнения Бернулли

Физический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии. Первый член уравнения Бернулли – это кинетическая энергия, второе слагаемое уравнения Бернулли – потенциальная энергия в поле силы тяжести, третье – работа силы давления при подъеме жидкости на высоту h.

Вот и все, друзья, не так уж и страшно. Совсем немного времени, а Вы уже знаете уравнение Бернулли. Даже если Вы не знаете больше ничего, с этими знаниями идти на экзамен или зачет гораздо лучше, чем просто так. А если Вам необходима помощь в том, как решать задачи на уравнение Бернулли – не стесняйтесь и оформляйте заявку. После того как распишут решение уравнения Бернулли максимально подробно, у Вас не останется пробелов в знаниях.

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления
.

Так как
, то
.

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента
, его ускорение

Применив к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения, получим

Учитывая то, что
и что при установившемся движении
, после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в рассматриваемом сечении:

где - геометрический напор (высота), выражающий удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью отсчета, м,

- пьезометрический напор, выражающий удельную энергию давления, м,

- скоростной напор, выражающий удельную кинетическую энергию, м,

- статический напор, м.

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Впрактике технических измерений уравнение Бернулли используют для определения скорости жидкости
.

Уравнение Бернулли можно получить еще и следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании основного уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений
и
. Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

Лекция №7

Уравнение бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:

где - геометрический напор (высота), м,- пьезометрический напор, м,

- скоростной напор, м,
- статический напор, м.

В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим

где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.

Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:

Линия А, которая проходит по уровням в пьезометрах, измеряющих в точках избыточное давление, называетсяпьезометрической линией . Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора Н с по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область измерения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).

Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.

Расходомер Вентури

Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезометры, показания которых позволяют определить перепад пьезометрического напора между двумя сечениями трубы и записать

В этом уравнении неизвестными являются v 1 и v 2 . Из уравнения неразрывности следует
, что позволяет определить скоростьv 2 и расход жидкости через трубу