Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному Двойные интегралы и их свойства
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:
1. Если функции
и
интегрируемы в области
,
то интегрируемы в ней их сумма и разность,
причем
2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
3. Если
интегрируема в области
,
а эта область разбита на две непересекающиеся
областии
,
то
.
4. Если
и
интегрируемы в области
,
в которой
,
то
.
5. Если в области
функция
удовлетворяет неравенствам
,где
и
некоторые действительные числа, то
,
где
– площадь области
.
Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах
Пусть требуется вычислить двойной
интеграл
,
где область-
прямоугольник, определяемый неравенствами,.
Предположим, что
непрерывна в этом прямоугольнике и
принимает в нем неотрицательные значения,
тогда данный двойной интеграл равен
объему тела с основанием,
ограниченного сверху поверхностью
,
с боков - плоскостями
,
,
,
:
.
С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:
,
где
- площадь сечения данного тела плоскостью,
проходящей через точкуи перпендикулярной к оси
.
А так как рассматриваемое сечение
является криволинейной трапецией
,
ограниченной сверху графиком функции
,
гдефиксировано, а,
то
.
Из этих трех равенств следует, что
.
Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.
Замечание.
Можно доказать, что
последняя формула верна и при
,
а также в случае, когда функция
меняет знак в указанном прямоугольнике.
Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:
.
Аналогично можно показать, что
.
Из выше сказанного следует, что
.
Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.
Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной (или правильной) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.
Предположим, что ограниченная область
и ограничена сверху графиком функции
,
снизу - графиком функции
.
ПустьR{,}
- минимальный прямоугольник, в котором
заключена данная область
.
Пусть в области
определена и непрерывна функция
.
Введем новую функцию:
,
тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла
.
И, следовательно,
.
Поскольку отрезок
целиком принадлежит области
то, следовательно,
при
,
а еслилежит вне этого отрезка, то
.
При фиксированном можем записать:
.
Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то
.
Следовательно,
.
Из чего получаем формулу для вычисления
двойного интеграла по области, стандартной
относительно оси
путем сведения к повторному интегралу:
.
Если область
является стандартной в направлении оси
и определяется неравенствами,
,
аналогично можно доказать, что
.
Замечание.
Для области
,
стандартной в направлении осей
и
,
будут выполнены оба последних равенства,
поэтому
По этой формуле осуществляется изменение порядка интегрирования при вычислении соответствующего двойного интеграла.
Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.
Пример
. Вычислить двойной интеграл
по области
,
ограниченной линиями:
,
,
.
Решение.
Данная область является стандартной
как относительно оси
,
так и относительно оси
.
Вычислим интеграл, считая область
стандартной относительно оси
.
.
Замечание.
Если вычислить интеграл,
считая область стандартной относительно
оси
,
мы получим тот же результат:
.
Пример
. Вычислить двойной интеграл
по области
,
ограниченной линиями:
,
,
.
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Данная область является стандартной
относительно оси
.
.
Пример . Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.
Из пределов интегрирования находим
линии, ограничивающие область
интегрирования:
,
,
,
.
Для изменения порядка интегрирования
выразимкак
функции оти найдем точки пересечения:
,
,
.
Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.
.
Касательная и нормаль к поверхности
Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке М(1, 1, 1).
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Пусть область D ограничена линией r = r() и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y
Соотношениями (рис. 5). В этом случае
Замечание. Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.
Двойной интеграл. Основные определения и свойства.
Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.
С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх i , а по оси у – на Dу i . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = Dx i × Dy i .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i , y i) и составим интегральную сумму
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D i , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю.
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.
С учетом того, что S i = Dx i × Dy i получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р i , то, считая все площади S i одинаковыми, получаем формулу:
Условия существования двойного интеграла.
Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.
Свойства двойного интеграла.
3) Если D = D 1 + D 2 , то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .
6) Если f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), то .
№43 Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции
Представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β
и γ
− углы между касательной и положительными направлениями осей Ox
, Oy
и Oz
, соответственно.
Введем векторную функцию , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции
Существовал криволинейный интегра Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как
Таким образом, по определению,
где − единичный вектор касательной к кривой C
.
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:
Где.
Если кривая C
лежит в плоскости Oxy
, то полагая R =
0, получаем
Свойства криволинейногоинтеграла второго рода
Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A . Тогда
Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то Если кривая C задана параметрически в виде , то Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнениTм (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде
№49Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт),
где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный
Доказательство. Для площадей получаем
Тогда интегральные суммы будут равны
Первая из сумм является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее следует из равномерной непрерывности функции f(x,y,z(x,y)) на D.
№40(продолжение) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.
Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.
СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА
1. , где – длина кривой .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е.
3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.
4. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то
(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).
5. Если всюду на кривой функция (), то
6. Если всюду на кривой (),
7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на кривой , то
где – длина кривой .
8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что справедливо равенство
где – длина кривой .
№42Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: -
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
· моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
№38(2) Замена переменных в тройных интегралах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:
Предполагается, что выполнены следующие условия:
1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
2.Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U" в пространстве uvw;
3.Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.
№38 Тройные интегралы в сферических координатах
Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.
Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).
Поверхность
Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.
Определение
Совокупность всех точек поверхности содинаковымнаправлени-ем нормали называется стороной поверхности.
Ориентация поверхности.
Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.
Определение
Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.
Поток векторного поля.
Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.
Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода , (13.1)
где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.
Замечание 1.
Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.
Замечание 2.
Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).
№53 Поверхностный интеграл второго рода. Определение и св-ва.
Определение
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определенные в точках поверхности .
Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
Где - единичный вектор нормали поверхности - орт.
Свойства
1. Линейность: ;
2. Аддитивность: ;
3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.
№60 Опера́торна́бла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом: где - единичные векторы по осям x, y, z.
Свойства оператора набла. Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.Если умножить вектор на скаляр φ, то получится вектор который представляет собой градиент функции. Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр
то есть дивергенция вектора . Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :
Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использованными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.
Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом: Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле. Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку: Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.
№61 Векторными дифференциальными операциями второго порядка называются следующие пять операций:
1. где - оператор Лапласа.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Здесь - это векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к каждой проекции вектора .
- - - - - - - - - - - - - - -
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1. Определение двойного интеграла
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.
Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x , y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.
Р
Рис. 1.1
азобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом s i . На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i , и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x i , y i ). Составим интегральную сумму для функции f (x , y ) по области D , для этого найдем значения функции во всех точках P i , умножим их на площади соответствующих участков s i и просуммируем все полученные результаты:. (1.1)
Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Двойным
интегралом
функции
f
(x
,
y
)
по
области
D
называется
предел, к которому стремится
последовательность интегральных
сумм
(1.1) при
неограниченном увеличении числа
разбиений
n
(при
этом
).
Это
записывают следующим образом
. (1.2)
Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x , y ) была интегрируемой в области D ), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .
П
Рис.
1.2
. (1.3)
Замечание . Если подынтегральная функция f (x , y )1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:
. (1.4)
Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.
Свойства двойных интегралов.
1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :
и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :
.
2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :
.
3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x , y ) непрерывна в области D , то в этой области найдется такая точка (), что :
.
Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.
1.2. Повторные интегралы
Повторными интегралами называются интегралы вида
. (1.5)
В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x :
.
Затем полученную функцию интегрируют по x :
.
Пример 1.1. Вычислить интегралы:
а)
,
б)
.
Решение . а) Произведем интегрирование по y , считая, что переменная x = const . После этого вычисляем интеграл по x :
.
б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x , то y 3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y 2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x , получаем
Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy . Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная .
Л
а
б
Рис.
1.4
юбую сложную область можно
представить в виде суммы простых
областей. Соответственно, любой двойной
интеграл можно представить в виде суммы
двойных интегралов по простым областям.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать,
в основном, только интегралы по простым
областям.
Теорема . Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
; (1.6)
если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
. (1.7)
Е
Рис.
1.3
1.3. РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.3.1. Прямоугольная область интегрирования
П
Рис.
1.5
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл
.
Решение . Запишем двойной интеграл в виде повторного:
.
1.3.2. Произвольная область интегрирования
Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:
построить область интегрирования ;
расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл .
Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла
,
если а)
б)
Р
Рис.
1.6
.
Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y , а во внутреннем – по x . В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x = y /2 и x =1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y =1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x = y /2 до прямой x = y . Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x = y /2 до прямой x =1. В результате получим
.
б
Рис.
1.7
;
на отрезке переменная y
изменяется от y
=0
до y
=1–x
.
Таким образом,
.
Пусть
теперь во внешнем интеграле интегрирование
производится по y
,
а во внутреннем – по x
.
В этом случае y
будет изменяться от 0 до 1, а переменная
x
– от дуги окружности
до
прямой x
=1–y
.
В результате получим
.
Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования
а)
;
б)
.
Р
Рис.
1.8
.
б)
Построим область интегрирования. На
отрезке для y
переменная x
изменяется от прямой x
=y
до параболы
;
на отрезке – от прямой x
=y
до прямой x
=
3/4.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.9). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования,
.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 1
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.
Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x,y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.
Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом Ds i . На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i , и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x i ,y i ). Составим интегральную сумму для функции f (x,y ) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P i , умножим их на площади соответствующих участков Ds i и просуммируем все полученные результаты:
Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом
Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x,y ) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .
Пусть функция f (x,y ) интегрируема в области D . Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи вертикальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Ds i =Dx i Dy i . Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy . Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде
Замечание . Если подынтегральная функция f (x,y )º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:
Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.
Свойства двойных интегралов.
1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :
и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :
2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :
3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x,y ) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что :
Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.
1.1 Определение двойного интеграла
1.2 Свойства двойного интеграла
Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем
2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а? и? - любые вещественные числа, то функция [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] также интегрируема в области D, причем
3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.
4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ? g(x, y), то
5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем
(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)
6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число?, удовлетворяющее неравенству m ? ? ? M и такое, что справедлива формула
В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (?, ?), что? = f(?, ?), и формула принимает вид
7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D
Пусть в пространстве дано тело T (рис. 2.1), ограниченное снизу областью D , сверху - графиком непрерывной и неотрицательной функции) z=f (x, y ,) которая определена в области D , с боков - цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D , а образующие параллельны оси Оz. Тело такого вида называется цилиндрическим телом.
1.3 Геометрическая интерпретация двойного интеграла
1.4 Понятие двойного интеграла для прямоугольника
Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = ? (см. Рис. 1).
Разобьем сегмент a ? x ? b на n частичных сегментов при помощи точек a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
На каждом частичном прямоугольнике R kl выберем произвольную точку (? k , ? l). Положив?x k = x k - x k-1 , ?y l = y l - y l-1 , обозначим через?R kl площадь прямоугольника R kl . Очевидно, ?R kl = ?x k ?y l .
называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках разбиения T.
Диагональ будем называть диаметром прямоугольника R kl . Символом? обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников R kl .
Число I называется пределом интегральных сумм (1) при? > 0, если для любого положительного числа? можно указать такое положительное число?, что при? < ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
| ? - I | < ?.
Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при? > 0.
Указанный предел I называется двойным интегралом от функции f(x, y) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов:
Замечание. Точно также, как и для однократного определенного интеграла, устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике R функция f(x, y) является ограниченной на этом прямоугольнике.
Это дает основание рассматривать в дальнейшем лишь ограниченные функции f(x, y).