Линейные пространства. Подпространства

Системы линейных однородных уравнений

Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы

План решения.

1. Записываем матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:

Размерность пространства решений равна . Если , то однородная система имеет единственное нулевое решение, если , то система имеет бесчисленное множество решений.

2. Выбираем базисных и свободных переменных. Свободные переменные обозначаем . Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.

3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.

Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:

1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;

2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;

3. перестановка строк местами;

4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

Полагаем , тогда

1. Пусть подпространство L = L (а 1 , а 2 , …, а m ) , то есть L – линейная оболочка системы а 1 , а 2 , …, а m ; векторы а 1 , а 2 , …, а m – система образующих этого подпространства. Тогда базисом L является базис системы векторов а 1 , а 2 , …, а m , то есть базис системы образующих. Размерность L равна рангу системы образующих.

2. Пусть подпространство L является суммой подпространств L 1 и L 2 . Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем образующих подпространств, после чего находится базис суммы. Размерность суммы находится по следующей формуле:

dim (L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim (L 1 Ç L 2).

3. Пусть сумма подпространств L 1 и L 2 прямая, то есть L = L 1 Å L 2 . При этом L 1 Ç L 2 = {о } и dim (L 1 Ç L 2) = 0. Базис прямой суммы равен объединению базисов слагаемых. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

4. Приведем важный пример подпространства и линейного многообразия.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными. Множество решений М 0 этой системы является подмножеством множества R n и замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на действительное число. Это означает, что это множество М 0 – подпространство пространства R n . Базисом подпространства является фундаментальный набор решений однородной системы, размерность подпространства равна количеству векторов в фундаментальном наборе решений системы.

Множество М решений общей системы m линейных уравнений с n неизвестными так же является подмножеством множества R n и равно сумме множества М 0 и вектора а , где а – некоторое частное решение исходной системы, а множество М 0 – множество решений однородной системы линейных уравнений, сопутствующей данной системе (она отличается от исходной только свободными членами),

М = а + М 0 = {а = m , m Î М 0 }.

Это означает, что множество М является линейным многообразием пространства R n с вектором сдвига а и направлением М 0 .

Пример 8.6. Найти базис и размерность подпространства, заданного однородной системой линейных уравнений:

Решение . Найдем общее решение этой системы и ее фундаментальный набор решений: с 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), с 2 = (12, –8, 0, 1, 0), с 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Базис подпространства образуют векторы с 1 , с 2 , с 3 , его размерность равна трем.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра

Костромской государственный университет имени н а некрасова..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ББК 22.174я73-5
М350 Печатается по решению редакционно-издательского совета КГУ им. Н. А. Некрасова Рецензент А. В. Чередников

ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013 ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013

Объединение (или сумма)
Определение 1.9.Объединением множеств А и В называется множество A È B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя

Пересечение (или произведение)
Определение 1.10. Пересечением множеств А и В называется множество A Ç B, которое состоит из тех и только тех элементов, принадлежащих одн

Разность
Определение 1.11.Разностью множеств А и В называется множество А В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А

Декартовое произведение (или прямое произведение)
Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a1

Свойства операций над множествами
Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U

Метод математической индукции
Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства матем

Комплексные числа
Понятие числа является одним из основных завоеваний человеческой культуры. Сначала появились натуральные числа N = {1, 2, 3, …, n, …} затем целые Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, рациональные Q

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (

Тригонометрическая форма комплексного числа
Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме. 1. Умножений.Пусть даны два к

Возведение в степень
Если z = r(cosj + i×sinj), то zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), где n Î

Показательная форма комплексного числа
Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйле

Понятие отношения
Определение 2.1. n-арным (или n-местным) отношениемP на множествах A1, A2, …, An называется любое подмнож

Свойства бинарных отношений
Пусть бинарное отношение Р задано на непустом множестве А, т. е. Р Í А2. Определение 2.9.Бинарное отношение P на множе

Отношение эквивалентности
Определение 2.15. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивал

Функции
Определение 2.20.Бинарное отношение ƒ Í A ´ B называется функцией из множества A в множество B, если для любого x

Общие понятия
Определение 3.1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа m и n называют порядком (или

Сложение однотипных матриц
Складывать можно только однотипные матрицы. Определение 3.12. Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij), где i = 1,

Свойства сложения матриц
1) коммутативность: " А, В: А + В = В + А; 2) ассоциативность: " А, В, С: (А + В) + С = А

Умножение матрицы на число
Определение 3.13. Произведением матрицы А = (aij) на действительной число k называется матрица С = (сij), для которой с

Свойства умножения матрицы на число
1) " А: 1×А = А; 2) " α, β Î R, " А: (αβ)×А = α×(β×А) = β×

Умножение матриц
Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия. Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными

Свойства умножения матриц
1) Умножение матриц не коммутативно: A×B ≠ B×A. Продемонстрировать данное свойство можно на примерах. Пример 3.6. а)

Транспонирование матриц
Определение 3.16. Матрица Аt, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной матрице А

Определители матриц второго и третьего порядка
Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: D, |A|, det A,

Определение 4.6.
1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A| = а11. 2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен. 3. Определи

Свойства определителей
Для того чтобы вычислять определители порядков, больших, чем 3, используют свойства определителей и теорему Лапласа. Теорема 4.1 (Лапласа). Определитель квадратной матрицы

Практическое вычисление определителей
Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке. Пример 4.4.Вычислить определитель D =

Понятие ранга матрицы
Пусть А – матрица размерности m ´ n. Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
Один из методов методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы. Суть метода в следующем. Если есть хотя бы один элемент ма

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы. Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1. умноже

Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
Пусть дана квадратная матрица А. Определение 5.7. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если А×А–1

Алгоритм нахождения обратной матрицы
Рассмотрим один из способов нахождения обратной матрицы к данной с помощью алгебраических дополнений. Пусть дана квадратная матрица А. 1. Находим определитель матрицы |A|. Ес

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще способ нахождения обратной матицы с помощью элементарных преобразований. Сформулируем необходимые понятия и теоремы. Определение 5.11.Матрица В назыв

Метод Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть m = n и система имеет вид:

Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю. Матричная форма записи систе

Метод Гаусса
Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия. Определение 6.7. Уравнение вида 0×

Описание метода Гаусса
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная система приводится к равносильной ей системе ступенчатого или т

Исследование системы линейных уравнений
Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько у нее решений. Ответить на этот в

Однородные системы линейных уравнений
Определение 6.11.Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю. Однородная система m линейных уравнени

Свойства решений однородной системы линейных уравнений
1. Если вектор а = (a1, a2, …, an) является решением однородной системы, то вектор k×а = (k×a1, k&t

Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
Пусть М0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений. Определение 6.12.Векторы с1, с2, …, с

Линейная зависимость и независимость системы векторов
Пусть а1, а2, …, аm множество из m штук n-мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k1

Свойства линейной зависимости системы векторов
1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима. Следствие. Если си

Единичная система векторов
Определение 7.13. Системой единичных векторов пространства Rn называется система векторов e1, e2, …, en

Две теоремы о линейной зависимости
Теорема 7.1. Если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима. Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а1

Базис и ранг системы векторов
Пусть S – система векторов пространства Rn; она может быть как конечной, так и бесконечной. S" – подсистема системы S, S" Ì S. Дадим два

Ранг системы векторов
Дадим два равносильных определения ранга системы векторов. Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов
Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При

Определение векторного пространства над произвольным полем
Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел. Определение 8.1. Множество V называется в

Простейшие свойства векторных пространств
1) о – нулевой вектор (элемент), определен единственным образом в произвольном векторном пространстве над полем. 2) Для любого вектора a Î V существует единствен

Подпространства. Линейные многообразия
Пусть V – векторное пространство, L Ì V (L подмножество V). Определение 8.2. Подмножество L векторного про

Пересечение и сумма подпространств
Пусть V – векторное пространство над полем P, L1 и L2 – его подпространства. Определение 8.3. Пересечением подпрос

Линейные многообразия
Пусть V – векторное пространство, L – подпространство, a – произвольный вектор из пространства V. Определение 8.6.Линейным многообразием

Конечномерные векторные пространства
Определение 8.7.Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при

Базис конечномерного векторного пространства
V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная). Определение 8.10. Базисом системы S

Координаты вектора относительно данного базиса
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e1, e2, …, en образуют его базис. Пусть a – произ

Координаты вектора в различных базисах
Пусть V – n-мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e1, e2, …, en – старый базис, e"1, e

Евклидовы векторные пространства
Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n, так и бесконечномерн

Скалярное произведение в координатах
В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e1, e2, …, en. Векторы x и y разложены по векторам

Метрические понятия
В евклидовых векторных пространствах от введенного скалярного произведения можно перейти к понятиям нормы вектора и угла между векторами. Определение 8.16. Нормой (

Свойства нормы
1) ||a|| = 0 Û a = о. 2) ||la|| = |l|×||a||, т. к. ||la|| =

Ортонормированный базис евклидова векторного пространства
Определение 8.21. Базис евклидова векторного пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, то есть если а1, а

Процесс ортогонализации
Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство. Пусть а1, а2

Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Дан ортонормированный базис e1, e2, …, en евклидова пространства V. Поскольку (ei, ej) = 0 при i

Ортогональное дополнение подпространства
V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство. Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор

Связь между координатами вектора и координатами его образа
В пространстве V задан линейный оператор j, а также в некотором базисе e1, e2, …, en найдена его матрица M(j). Пусть в этом базис

Подобные матрицы
Рассмотрим множество Рn´n квадратных матриц порядка n с элементами из произвольного поля P. Введем на этом множестве отно

Свойства отношения подобия матриц
1. Рефлексивность. Любая матрица подобна сама себе, т. е. А ~ А. 2. Симметричность. Если матрица A подобна B, то и B подобна A, т. е

Свойства собственных векторов
1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению. Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями

Характеристический многочлен матрицы
Дана матрица A Î Рn´n (или A Î Rn´n). Определени

Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
Пусть A – квадратная матрица. Можно считать, что это матрица некоторого линейного оператора, заданного в каком-то базисе. Известно, что в другом базисе матрица линейного операт

Жорданова нормальная форма
Определение 10.5. Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу l0, называется матрица порядка k, 1 ≤ k ≤ n,

Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали. Пр

Билинейные формы
Определение 11.1. Билинейной формой называется функция (отображение) f: V ´ V ® R (или C), где V – произвольное векторное п

Свойства билинейных форм
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной кососимметричной форм. При выбранном базисе e1, e2, …, en в векторн

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
Пусть в векторном пространстве V заданы два базиса e = {e1, e2, …, en} и f = {f1, f2,

Квадратичные формы
Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V. Определение 11.6.Квадратичной формой

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Дана квадратичная форма (2) A(x, x) = , где x = (x1

Закон инерции квадратичных форм
Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A(x

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
Утверждение 11.1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была знакоопределенной, необход

Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была квазизнакопеременной (то е

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
Пусть форма A(x, x) в базисе e = {e1, e2, …, en} определяется матрицей A(e) = (aij)

Заключение
Линейная алгебра является обязательной частью любой программы по высшей математике. Любой другой раздел предполагает наличие знаний, умений и навыков, заложенных во время преподавания этой дисципли

Библиографический список
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Изд-во ВШЭ, 2007. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие Редактор и корректор Г. Д. Неганова Компьютерный набор Т. Н. Матыциной, Е. К. Коржевина

Подмножество линейного пространства образует подпространство, если оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения на скаляры.

П р и м е р 6.1. Образует ли подпространство в плоскости множество векторов, концы которых лежат: а) в первой четверти; б) на прямой, проходящей через начало координат? (начала векторов лежат в начале координат)

Р е ш е н и е.

а) нет, так как множество не замкнуто относительно умножения на скаляр: при умножении на отрицательное число конец вектора попадает в третью четверть.

б) да, так как при сложении векторов и умножении их на любое число их концы остаются на той же прямой.

У п р а ж н е н и е 6.1. Образуют ли подпространство следующие подмножества соответствующих линейных пространств:

а) множество векторов плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четверти;

б) множество векторов плоскости, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат;

в) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0};

г) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1};

д) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3)ï x 1 = x 2 2 }.

Размерностью линейного пространства L называется число dim L векторов, входящих в любой его базис.

Размерность суммы и пересечения подпространств связаны соотношением

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

П р и м е р 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

Р е ш е н и е. Каждая из систем векторов, порождающих подпространства U и V, линейно независима, значит, является базисом соответствующего подпространства. Построим матрицу из координат данных векторов, расположив их по столбцам и отделив чертой одну систему от другой. Приведем получившуюся матрицу к ступенчатому виду.

~ ~ ~ .

Базис U + V образуют векторы , , , которым в ступенчатой матрице соответствуют ведущие элементы. Следовательно, dim (U + V) = 3. Тогда

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Пересечение подпространств образует множество векторов, удовлетворяющих уравнению (стоящих в левой и правой частях этого уравнения). Базис пересечения получим с помощью фундаментальной системы решений системы линейных уравнений, соответствующей этому векторному уравнению. Матрица этой системы уже приведена к ступенчатому виду. Исходя из него, заключаем, что y 2 – свободная переменная, и полагаем y 2 = c. Тогда 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. и пересечение подпространств образует множество векторов вида = с (3, 6, 3, 4). Следовательно, базис UÇV образует вектор (3, 6, 3, 4).

З а м е ч а н и я. 1. Если продолжить решать систему, находя значения переменных х, то получим x 2 = c, x 1 = c, и в левой части векторного уравнения получится вектор , равный полученному выше.

2. Указанным методом можно получить базис суммы независимо от того, являются ли порождающие системы векторов линейно независимыми. Но базис пересечения будет получен правильно, только если хотя бы система, порождающая второе подпространство, линейно независима.

3. Если будет установлено, что размерность пересечения равна 0, то пересечение не имеет базиса, и искать его не нужно.

У п р а ж н е н и е 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

а)

б)

Евклидово пространство

Евклидовым пространством называется линейное пространство над полем R , в котором определено скалярное умножение, ставящее в соответствие каждой паре векторов , скаляр , причем выполнены условия:

2) (a + b ) = a() + b();

3) ¹ Þ > 0.

Стандартное скалярное произведение вычисляется по формулам

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n .

Векторы и называются ортогональными, записывается ^ , если их скалярное произведение равно 0.

Система векторов называется ортогональной, если векторы в ней попарно ортогональны.

Ортогональная система векторов линейно независима.

Процесс ортогонализации системы векторов , … , заключается в переходе к эквивалентной ортогональной системе , … , , выполняемом по формулам:

, где , k = 2, … , n.

П р и м е р 7.1. Ортогонализировать систему векторов

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Р е ш е н и е. Имеем = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

У п р а ж н е н и е 7.1. Ортогонализировать системы векторов:

а) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

б) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

П р и м е р 7.2. Дополнить систему векторов = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), до ортогонального базиса пространства.

Р е ш е н и е. Исходная система ортогональна, поэтому задача имеет смысл. Так как векторы заданы в четырехмерном пространстве, то требуется найти еще два вектора. Третий вектор = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) определяем из условий = 0, = 0. Эти условия дают систему уравнений, матрица которой образована из координатных строк векторов и . Решаем систему:

~ ~ .

Свободным переменным x 3 и x 4 можно придать любой набор значений, отличный от нулевого. Полагаем, например, x 3 = 0, x 4 = 1. Тогда x 2 = 0, x 1 = 1, и = (1, 0, 0, 1).

Аналогично находим = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4). Для этого к полученной выше ступенчатой матрице добавляем новую координатную строку и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

Для свободной переменной y 3 полагаем y 3 = 1. Тогда y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, и = (0, 1, 1, 0).

Нормой вектора евклидова пространства называется неотрицательное действительное число .

Вектор называется нормированным, если его норма равна 1.

Чтобы нормировать вектор, его следует разделить на его норму.

Ортогональная система нормированных векторов называется ортонормированной.

У п р а ж н е н и е 7.2. Дополнить систему векторов до ортонормированного базиса пространства:

а) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

б) = (1/3, -2/3, 2/3).

Линейные отображения

Пусть U и V – линейные пространства над полем F. Отображение f: U ® V называется линейным, если и .

П р и м е р 8.1. Являются ли линейными преобразования трехмерного пространства:

а) f(x 1 , x 2 , x 3) = (2x 1 , x 1 – x 3 , 0);

б) f(x 1 , x 2 , x 3) = (1, x 1 + x 2 , x 3).

Р е ш е н и е.

а) Имеем f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1 , x 1 – x 3 , 0) + (2y 1 , y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

L f(x 1 , x 2 , x 3).

Следовательно, преобразование является линейным.

б) Имеем f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)).

Следовательно, преобразование не является линейным.

Образом линейного отображения f: U ® V называется множество образов векторов из U, то есть

Im (f) = {f() ï Î U}. + … + a m1

У п р а ж н е н и е 8.1. Найти ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного отображения f, заданного матрицей:

а) А = ; б) А = ; в) А = .

Линейное пространство V называется n-мерным , если в нем существует система из n линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число n называется размерностью (числом измерений) линейного пространства V и обозначается \operatorname{dim}V . Другими словами, размерность пространства - это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве V найдется система, состоящая из n линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: \operatorname{dim}V=\infty ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов (базисных векторов ).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если - базис n-мерного линейного пространства V , то любой вектор \mathbf{v}\in V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

\mathbf{v}=\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{e}_1+\mathbf{v}_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+\mathbf{v}_n\cdot \mathbf{e}_n

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ldots, \mathbf{v}_n определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства V равна n . Система векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора \mathbf{v} , получаем линейно зависимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n, \mathbf{v} (так как это система состоит из (n+1) векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

Следствие 1. Если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n - базис пространства V , то V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n) , т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.

В самом деле, для доказательства равенства V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n) двух множеств достаточно показать, что включения V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n) и выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е. \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n)\subset V . С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. V\subset \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) . Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n - линейно независимая система векторов линейного пространства V и любой вектор \mathbf{v}\in V может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4): \mathbf{v}=v_1\mathbf{e}_1+ v_2\mathbf{e}_2+\ldots+v_n\mathbf{e}_n , то пространство V имеет размерность n , а система \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_n является его базисом.

В самом деле, в пространстве V имеется система n линейно независимых векторов, а любая система \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots,\mathbf{u}_n из большего количества векторов (k>n) линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n . Значит, \operatorname{dim} V=n и \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n - базис V .

Теорема 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему k векторов n-мерного линейного пространства (1\leqslant k

В самом деле, пусть - линейно независимая система векторов n-мерного пространства V~(1\leqslant k. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: L_k=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k) . Любой вектор \mathbf{v}\in L_k образует с векторами \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k линейно зависимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{v} , так как вектор \mathbf{v} линейно выражается через остальные. Поскольку в n-мерном пространстве существует n линейно независимых векторов, то L_k\ne V и существует вектор \mathbf{e}_{k+1}\in V , который не принадлежит L_k . Дополняя этим вектором линейно независимую систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k , получаем систему векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1} , которая также линейно независимая. Действительно, если бы она оказалась линейно зависимой, то из пункта 1 замечаний 8.3 следовало, что \mathbf{e}_{k+1}\in \operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k)=L_k , а это противоречит условию \mathbf{e}_{k+1}\notin L_k . Итак, система векторов \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1} линейно независимая. Значит, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Рассмотрим линейную оболочку этих векторов: L_{k+1}=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots, \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1}) . Если L_{k+1}=V , то \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k, \mathbf{e}_{k+1} - базис и теорема доказана. Если L_{k+1}\ne V , то дополняем систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1} вектором \mathbf{e}_{k+2}\notin L_{k+1} и т.д. Процесс дополнения обязательно закончится, так как пространство V конечномерное. В результате получим равенство V=L_n=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n) , из которого следует, что \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_k,\ldots,\mathbf{e}_n - базис пространства V . Теорема доказана.

Замечания 8.4

1. Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Например, если \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n - базис пространства V , то система векторов \lambda \mathbf{e}_1,\lambda \mathbf{e}_2,\ldots,\lambda \mathbf{e}_n при любом \lambda\ne0 также является базисом V . Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерного пространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерности пространства.

2. В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один из возможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называют стандартным.

3. Теорема 8.1 позволяет говорить, что базис - это полная система элементов линейного пространства, в том смысле, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы.

4. Если множество \mathbb{L} является линейной оболочкой \operatorname{Lin}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k) , то векторы \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k называют образующими множества \mathbb{L} . Следствие 1 теоремы 8.1 в силу равенства V=\operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) позволяет говорить, что базис - это минимальная система образующих линейного пространства V , так как нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один вектор из набора \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n ) без нарушения равенства V=\operatorname{Lin}(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n) .

5. Теорема 8.2 позволяет говорить, что базис - это максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства, так как базис - это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.

6. Следствие 2 теоремы 8.1 удобно применять для нахождения базиса и размерности линейного пространства. В некоторых учебниках оно берется за определение базиса, а именно: линейно независимая система \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n векторов линейного пространства называется базисом, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n . Количество базисных векторов определяет размерность пространства . Разумеется, что эти определения эквивалентны приведенным выше.

Примеры базисов линейных пространств

Укажем размерность и базис для примеров линейных пространств, рассмотренных выше.

1. Нулевое линейное пространство \{\mathbf{o}\} не содержит линейно независимых векторов. Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: \dim\{\mathbf{o}\}=0 . Это пространство не имеет базиса.

2. Пространства V_1,\,V_2,\,V_3 имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно, любой ненулевой вектор пространства V_1 , образует линейно независимую систему (см. пункт 1. замечаний 8.2), а любые два ненулевых век тора пространства V_1 коллинеарны, т.е. линейно зависимы (см. пример 8.1). Следовательно, \dim{V_1}=1 , а базисом пространства V_1 является любой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что \dim{V_2}=2 и \dim{V_3}=3 . Базисом пространства V_2 служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке (один из них считается первым базисным вектором, другой - вторым). Базисом пространства V_3 являются любые три некомпланарных (не лежащих в одной или параллельных плоскостях) вектора, взятые в определенном порядке. Стандартным базисом в V_1 является единичный вектор \vec{i} на прямой. Стандартным базисом в V_2 считается базис \vec{i},\,\vec{j} , со стоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве V_3 считается базис \vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k} , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующих правую тройку.

3. Пространство \mathbb{R}^n содержит не более, чем n , линейно независимых векторов. В самом деле, возьмем k столбцов из \mathbb{R}^n и составим из них матрицу размеров n\times k . Если k>n , то столбцы линейно зависимы по теореме 3.4 о ранге матрицы. Следовательно, \dim{\mathbb{R}^n}\leqslant n . В пространстве \mathbb{R}^n не трудно найти п линейно независимых столбцов. Например, столбцы единичной матрицы

\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\1 \end{pmatrix}\!.

линейно независимы. Следовательно, \dim{\mathbb{R}^n}=n . Пространство \mathbb{R}^n называется n-мерным вещественным арифметическим пространством . Указанный набор векторов считается стандартным базисом пространства \mathbb{R}^n . Аналогично доказывается, что \dim{\mathbb{C}^n}=n , поэтому пространство \mathbb{C}^n называют n-мерным комплексным арифметическим пространством .

4. Напомним, что любое решение однородной системы Ax=o можно представить в виде x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_{n-r}\varphi_{n-r} , где r=\operatorname{rg}A , a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} - фундаментальная система решений. Следовательно, \{Ax=o\}=\operatorname{Lin} (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r}) , т.е. базисом пространства \{Ax=0\} решений однородной системы служит ее фундаментальная система решений, а размерность пространства \dim\{Ax=o\}=n-r , где n - количество неизвестных, а r - ранг матрицы системы.

5. В пространстве M_{2\times3} матриц размеров 2\times3 можно выбрать 6 матриц:

\begin{gathered}\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_3= \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\hfill\\ \mathbf{e}_4= \begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_5= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\!,\quad \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\hfill \end{gathered}

\alpha_1\cdot \mathbf{e}_1+\alpha_2\cdot \mathbf{e}_2+\alpha_3\cdot \mathbf{e}_3+ \alpha_4\cdot \mathbf{e}_4+\alpha_5\cdot \mathbf{e}_5+\alpha_6\cdot \mathbf{e}_6= \begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end{pmatrix}

равна нулевой матрице только в тривиальном случае \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0 . Прочитав равенство (8.5) справа налево, заключаем, что любая матрица из M_{2\times3} линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е. M_{2\times}= \operatorname{Lin} (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6) . Следовательно, \dim{M_{2\times3}}=2\cdot3=6 , а матрицы \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_6 являются базисом (стандартным) этого пространства. Аналогично доказывается, что \dim{M_{m\times n}}=m\cdot n .

6. Для любого натурального n в пространстве P(\mathbb{C}) многочленов с комплексными коэффициентами можно найти п линейно независимых элементов. Например, многочлены \mathbf{e}_1=1, \mathbf{e}_2=z, \mathbf{e}_3=z^2,\,\ldots, \mathbf{e}_n=z^{n-1} линейно независимы, так как их линейная комбинация

a_1\cdot \mathbf{e}_1+a_2\cdot \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^{n-1}

равна нулевому многочлену (o(z)\equiv0) только в тривиальном случае a_1=a_2=\ldots=a_n=0 . Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном л, пространство P(\mathbb{C}) бесконечномерное. Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами. Пространство P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n , конечномерное. Действительно, векторы \mathbf{e}_1=1, \mathbf{e}_2=x, \mathbf{e}_3=x^2,\,\ldots, \mathbf{e}_{n+1}=x^n образуют базис (стандартный) это го пространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из P_n(\mathbb{R}) можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf{e}_1+a_1 \mathbf{e}_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf{e}_{n+1} . Следовательно, \dim{P_n(\mathbb{R})}=n+1 .

7. Пространство C(\mathbb{R}) непрерывных функций является бесконечно мерным. Действительно, для любого натурального n многочлены 1,x,x^2,\ldots, x^{n-1} , рассматриваемые как непрерывные функции, образуют линейно независимые системы (см. предыдущий пример).

В пространстве T_{\omega}(\mathbb{R}) тригонометрических двучленов (частоты \omega\ne0 ) с действительными коэффициентами базис образуют одночлены \mathbf{e}_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf{e}_2(t)=\cos\omega t . Они линейно независимы, так как тождественное равенство a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 возможно только в тривиальном случае (a=b=0) . Любая функция вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t линейно выражается через базисные: f(t)=a\,\mathbf{e}_1(t)+b\,\mathbf{e}_2(t) .

8. Пространство \mathbb{R}^X действительных функций, определенных на множестве X , в зависимости от области определения X может быть конечномерным или бесконечномерным. Если X - конечное множество, то пространство \mathbb{R}^X конечномерное (например, X=\{1,2,\ldots,n\} ). Если X - бесконечное множество, то пространство \mathbb{R}^X бесконечномерное (например, пространство \mathbb{R}^N последовательностей).

9. В пространстве \mathbb{R}^{+} любое положительное число \mathbf{e}_1 , не равное единице, может служить базисом. Возьмем, например, число \mathbf{e}_1=2 . Любое положительное число r можно выразить через \mathbf{e}_1 , т.е. представить в виде \alpha\cdot \mathbf{e}_1\colon r=2^{\log_2r}=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf{e}_1 , где \alpha_1=\log_2r . Следовательно, размерность этого пространства равна 1, а число \mathbf{e}_1=2 является базисом.

10. Пусть \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n - базис вещественного линейного пространства V . Определим на V линейные скалярные функции , положив:

\mathcal{E}_i(\mathbf{e}_j)=\begin{cases}1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end{cases}

При этом, в силу линейности функции \mathcal{E}_i , для произвольного вектора получаем \mathcal{E}(\mathbf{v})=\sum_{j=1}^{n}v_j \mathcal{E}(\mathbf{e}_j)=v_i .

Итак, определены n элементов (ковекторов) \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2, \ldots, \mathcal{E}_n сопряженного пространства V^{\ast} . Докажем, что \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n - базис V^{\ast} .

Во-первых, покажем, что система \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n линейно независима. В самом деле, возьмем линейную комбинацию этих ковекторов (\alpha_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})= и приравняем ее нулевой функции

\mathbf{o}(\mathbf{v})~~ (\mathbf{o}(\mathbf{v})=0~ \forall \mathbf{v}\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+\ldots+\alpha_n\mathcal{E}_n(\mathbf{v})= \mathbf{o}(\mathbf{v})=0~~\forall \mathbf{v}\in V.

Подставляя в это равенство \mathbf{v}=\mathbf{e}_i,~ i=1,\ldots,n , получаем \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0 . Следовательно, система элементов \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots,\mathcal{E}_n пространства V^{\ast} линейно независима, так как равенство \alpha_1\mathcal{E}_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal{E}_n =\mathbf{o} возможно только в тривиальном случае.

Во-вторых, докажем, что любую линейную функцию f\in V^{\ast} можно представить в виде линейной комбинации ковекторов \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n . Действительно, для любого вектора \mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1+v_2 \mathbf{e}_2+\ldots+v_n \mathbf{e}_n в силу линейности функции f получаем:

\begin{aligned}f(\mathbf{v})&= f(v_1 \mathbf{e}_1+\ldots+v_n \mathbf{e}_n)= v_1 f(\mathbf{e}_1)+\ldots+v_n f(\mathbf{e}_n)= f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1(\mathbf{v})+ \ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n(\mathbf{v})=\\ &=(f(\mathbf{e}_1)\mathcal{E}_1+\ldots+ f(\mathbf{e}_n)\mathcal{E}_n)(\mathbf{v})= (\beta_1\mathcal{E}_1+ \ldots+\beta_n\mathcal{E}_n) (\mathbf{v}),\end{aligned}

т.е. функция f представлена в виде линейной комбинации f=\beta_1 \mathcal{E}_1+\ldots+\beta_n\mathcal{E}_n функций \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n (числа \beta_i=f(\mathbf{e}_i) - коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система ковекторов \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2,\ldots, \mathcal{E}_n является базисом сопряженного пространства V^{\ast} и \dim{V^{\ast}}=\dim{V} (для конечномерного пространства V ).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Подмножество линейного пространства образует подпространство, если оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения на скаляры.

П р и м е р 6.1. Образует ли подпространство в плоскости множество векторов, концы которых лежат: а) в первой четверти; б) на прямой, проходящей через начало координат? (начала векторов лежат в начале координат)

Р е ш е н и е.

а) нет, так как множество не замкнуто относительно умножения на скаляр: при умножении на отрицательное число конец вектора попадает в третью четверть.

б) да, так как при сложении векторов и умножении их на любое число их концы остаются на той же прямой.

У п р а ж н е н и е 6.1. Образуют ли подпространство следующие подмножества соответствующих линейных пространств:

а) множество векторов плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четверти;

б) множество векторов плоскости, концы которых лежат на прямой, не проходящей через начало координат;

в) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0};

г) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 1};

д) множество координатных строк {(x 1 , x 2 , x 3) x 1 = x 2 2 }.

Размерностью линейного пространства L называется числоdim L векторов, входящих в любой его базис.

Размерность суммы и пересечения подпространств связаны соотношением

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U  V).

П р и м е р 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

Р е ш е н и е. Каждая из систем векторов, порождающих подпространства Uи V, линейно независима, значит, является базисом соответствующего подпространства. Построим матрицу из координат данных векторов, расположив их по столбцам и отделив чертой одну систему от другой. Приведем получившуюся матрицу к ступенчатому виду.

~
~
~
.

Базис U + V образуют векторы, , , которым в ступенчатой матрице соответствуют ведущие элементы. Следовательно,dim (U + V) = 3.Тогда

dim (UV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Пересечение подпространств образует множество векторов, удовлетворяющих уравнению (стоящих в левой и правой частях этого уравнения). Базис пересечения получим с помощью фундаментальной системы решений системы линейных уравнений, соответствующей этому векторному уравнению. Матрица этой системы уже приведена к ступенчатому виду. Исходя из него, заключаем, что y 2 – свободная переменная, и полагаем y 2 = c. Тогда 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. и пересечение подпространств образует множество векторов вида
= с (3, 6, 3, 4). Следовательно, базис UV образует вектор (3, 6, 3, 4).

З а м е ч а н и я. 1. Если продолжить решать систему, находя значения переменных х, то получим x 2 = c, x 1 = c, и в левой части векторного уравнения получится вектор
, равный полученному выше.

2. Указанным методом можно получить базис суммы независимо от того, являются ли порождающие системы векторов линейно независимыми. Но базис пересечения будет получен правильно, только если хотя бы система, порождающая второе подпространство, линейно независима.

3. Если будет установлено, что размерность пересечения равна 0, то пересечение не имеет базиса, и искать его не нужно.

У п р а ж н е н и е 6.2. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

а)

б)